Persamaan dan Fungsi Kuadrat

-1- 

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT 

A. PERSAMAAN KUADRAT 

1. PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT 

ax 

2 

+ bx + c = 0 

a 0 

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah 

, dimana dan a,b,c . 

Pembuat nol dari persamaan di atas merupakan penyelesaian persamaan kuadrat. Himpunan dari 

penyelesaian di atas disebut Himpunan Penyelesaian (HP). Menentukan penyelesaian persamaan 

kuadrat sama dengan menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Secara geometri, menentukan 

penyelesaian persamaan kuadrat berarti menentukan titik-titik potong kurva 

dengan sumbu X. 

Cara menentukan penyelesaian persamaan kuadrat ada 3 cara, yaitu : 

1. memfaktorkan 

2. melengkapkan kuadrat sempurna 

3. rumus kuadrat (rumus abc) 

1.1 Penyelesaian persamaan kuadrat dengan memfaktorkan 

R 

2 

y = ax + bx + c 

Jika suatu persamaan kuadrat dapat diubah menjadi bentuk AB = 0, maka penyelesaiannya adalah 

A = 0 atau B = 0. Langkah pertama untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat 

ax 

2 

+ bx + c = 0 

dengan pemfaktoran yaitu dengan menentukan faktor dari perkalian ac yang 

jumlahnya adalah b, misalnya faktornya p dan q. Sehingga perkalian luar dan perkalian dalam dari 

koefisiennya besarnya p dan q. Perhatikan pola di bawah ini : 

Perkalian dalam 

(…x + …)(…x + …) = 0 

Perkalian luar 

Contoh 1: Tentukan Himpunan Penyelesaian dari 

x 

2 

− 2x −8 

= 0 

Jawab : 

x 

2 

− 2x −8 

= 0 

Jadi HP:{….,…..} 

 

(x - ….)(x + ….) = 0 

x = .... x = .... 

1 2 

Contoh 2: Tentukan penyelesaian dari 6x 

2 − x − 5 = 0 

Jawab : 6 2 − x − 5 = 0 

x (…...-……)(……+……) = 0 

x 1 = .... 

x 2 = .... 

LATIHAN SOAL 

Tentukan HPnya dengan menggunakan cara pemfaktoran ! 

x 

2 

− x −12 

= 0 

1. 

2. 

2 

x + 7x + 12 = 0 

3. 

2 

x − 8x + 16 = 0 

4. 

2 

x − 9 = 0 

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

-2- 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

− x 

2 

+ 81 = 0 

2x 

2 −10 

= 0 

x 

x 

2 

2 

− a = 0 

− 3x 

= 0 

3x 

2 + 12x 

= 0 

ax 

2 

+ bx = 0 

2x 

2 − x − 6 = 0 

5x 

2 + 8x − 4 = 0 

6x 

2 + 11x + 3 = 0 

− 8x 

2 −18x 

+ 5 = 0 

12x 

2 − 20x + 3 = 0 

1.2 Penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna 

Yaitu dengan mengubah persamaan 

penyelesaiannya 

x = − p 

q 

ax 

2 

+ bx + c = 0 

menjadi bentuk 

. Pertama, usahakan menjadi bentuk 

x 

2 

( ) q 

2 

x + p = 

b c 

+ x = − 

a a 

sehingga 

. Kemudian 

menjadikan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna, yaitu dengan menambahkan kedua ruas 

dengan 

b 

( ) 

2 a 

2 

. 

Contoh 3: Tentukan HP dari 

x 

2 

− 2x −8 

= 0 

dengan melengkapkan kuadrat sempurna 

Jawab : 

x 

2 

− 2x −8 

= 0 

 

…. = ….. 

…………………………. 

Jadi HP : {……,…….} 


6x 

2 − x − 5 = 0 

dengan melengkapkan kuadrat sempurna 

Jawab : 

6x 

2 − x − 5 = 0 

 

……………………………….. 

…. = …. 

: 6 

Jadi HP:{ …. } 


-3- 

LATIHAN SOAL 

Tentukan HPnya dengan melengkapkan kuadrat sempurna, dari : 

x 

x 

x 

x 

2 

2 

2 

2 

− x 

− x −12 

= 0 

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

2 

8. x − 3x 

= 0 

9. 

10. 

+ 7x + 12 = 0 

− 8x + 16 = 0 

− 9 = 0 

2 

+ 81 = 0 

2x 

2 −10 

= 0 

x 

2 

− a = 0 

3x 

2 + 12x 

= 0 

ax 

2 

+ bx = 0 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

2x 

2 − x − 6 = 0 

5x 

2 + 8x − 4 = 0 

6x 

2 + 11x + 3 = 0 

− 8x 

2 −18x 

+ 5 = 0 

12x 

2 − 20x + 3 = 0 

1.3 Penyelesaian Persamaan Kuadrat Dengan Rumus Kuadrat (Rumus abc) 

ax 

2 

+ bx + c = 0 

 

 

 

 

 

 

 

: a 

…. = … 

…. = … 

…. + …. = …. + …. 

( ) .... 

.... + .... 

2 = 

… + … = … 

x = … 

Sehingga : 

x 

1.2 

= 

− b 

2 

b − 4ac 

2a 

dimana b 2 − 4ac 

disebut dengan diskriminan (D) 

b 2 − 4ac 

Jadi D = 

Rumus di atas dikenal dengan nama rumus kuadrat atau sering dikenal dengan rumus abc. 

2 

Contoh 5: Tentukan HP dari x − 2x −8 

= 0 dengan menggunakan rumus kuadrat 

Jawab : a = … , b = …. , c = …. 

x 

1.2 

− b 

= 

x 1 = .... 

x = .... 2 

2 

b − 4ac 

2a 

= … 

= … 



-4- 


5 − 9x 

− 2x 

2 = 

0 

dengan menggunakan rumus kuadrat 

Jawab : a = … , b= …. , c = …. 

x 

1.2 

2 

− b b − 4ac 

= = … 

2a 


LATIHAN SOAL 

Tentukan HPnya dengan menggunakan rumus kuadrat (abc) dari : 

x 

x 

2 

2 

− x −12 

= 0 

1. 

2. 

2 

3. − 8x + 16 = 0 

2 

4. − 9 = 0 

+ 7x + 12 = 0 

11. 

12. 

2x 

2 − x − 6 = 0 

5x 

2 + 8x − 4 = 0 

x 13. 6x 

2 + 11x + 3 = 0 

x 14. 5 −18x 

− 8x 

2 = 0 

− x 

2 

+ 81 = 0 

5. 

6. 2x 

2 −10 

= 0 

7. − 5x 

2 + 40 = 0 

x 

2 

− 3x 

= 0 

8. 

9. 3x 

2 + 12x 

= 0 

10. − 6x 

2 + 60x 

= 0 

15. 

− 20x 

+ 3 + 12x 

2 = 

0 

2. JENIS-JENIS AKAR PERSAMAAN KUADRAT 

Jenis-jenis akar persamaan kuadrat : 

- Jika D < 0 maka akar-akarnya imajiner/ireal/tidak nyata 

- Jika D = 0 maka akar-akarnya real dan sama (akar kembar) 

- Jika D > 0 maka akar-akarnya real dan berlainan 

Jika D > 0 dan 

Jika D > 0 dan 

ax 

2 

D 

D 

merupakan bentuk akar, maka akar-akarnya irasional dan berlainan 

bukan bentuk akar, maka akar-akarnya rasional dan berlainan 

+ bx + c = 0 

Harga a pada 

menentukan kurva parabola menghadap ke atas atau ke bawah. 

- Jika a < 0 maka parabola menghadap ke bawah 

- Jika a > 0 maka parabola menghadap ke atas 

Definit negatif dan definit positif 

- Jika a < 0 dan D < 0 maka berapapun nilai x selalu menghasilkan nilai 

(definit negatif) 

- Jika a > 0 dan D < 0 maka berapapun nilai x selalu menghasilkan 

(definit positif) 

2 

ax + bx + c 

2 

ax + bx + c 

yang negatif 

yang positif 


-5- 

Perhatikan gambar berikut : 

Definit positif 

a >0 

D 0 a >0 

D=0 D >0 

Sb X 

Contoh 1: Tentukan jenis akar-akar dari 

3x 

2 + 5x − 4 = 0 

a < 0 a < 0 

D > 0 D = 0 a < 0 

D < 0 

Definit negatif 

Jawab : D = … = … 

Karena D … 0 maka akar-akarnya … 

Contoh 2: Tentukan nilai n agar persamaan 

2x 

2 + nx + 8 = 0 

mempunyai akar kembar ! 

Jawab : Syarat akar kembar, yaitu D …. 0 

… = 0 

… = 0 

… = 0 

( … )( … ) = 0 

n = … atau n = … 

LATIHAN SOAL 

1. Tentukan jenis-jenis akar persamaan berikut : 

a. 

b. 

c. 

x 

2 

− 5x + 2 = 0 

3x 

2 − 30x + 75 = 0 

4x 

2 + 5x + 3 = 0 

d. 

e. 

− x 

2 

+ 5x 

− 3 = 0 

5x 

2 + 30x + 45 = 0 

2. Tentukan n, agar persamaan berikut mempunyai akar kembar ! 

2 

a. x − nx + 16 = 0 

nx 

2 

+ 20x + 50 = 0 

b. 

c. 

2 

d. ( n + 1) x + 16x 

+ 32 = 0 

e. 1 1 

x 2 + ( n + 2) x + 12 = 0 

2 

2 

3x 

2 −18x 

+ 20 + n = 0 


-6- 

3. JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT 

Akar-akar 

ax 

2 

+ bx + c = 0 

adalah 

x 

1 

− b + 

= 

2 

b − 4ac 

2a 

dan 

x 

2 

− b − 

= 

Sehingga jika dijumlahkan dan dikalikan akar-akarnya akan mendapatkan rumus : 

2 

b − 4ac 

2a 

. 

b 

x 

1 

+ x2 

= − dan x1x2 

= 

a 

c 

a 

Contoh 1: Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar : 

x 

x 

2 

2 

+ 10x + 25 = 0 

a. 

Jawab : a. 

a = … , b = … , dan c = … 

= ….. 

b. 

a = … , b = …. dan c = …. 

x 

+ 10x + 25 = 0 

+ x 

1 2 

= 

x 1 x 2 

...... 

3x 

2 −10x + 3 = 0 

x 

+ x 

1 2 

= 

x 1 x 2 

...... 

= ….. 

b. 

3x 

2 −10x + 3 = 0 

Contoh 2: Jika 

a. 

x 1 


2 2 

1 

x2 

x + 

x 2 

akar-akar 

b. 

1 

2x 

2 − 5x + 3 = 0 

1 1 

x + x 

2 

c. 

maka tentukan nilai : 

x1 − x 2 

d. 

3 3 

1 

x2 

x + 

Jawab : 

x 

+ x 

1 2 

= 

x 1 x 2 

a. 

b. 

= ….. 

...... 

2 2 

1 

x2 

x + 

2 

1 

+ x2 

− 2x1x 

2 

= 

x 

= ( ).... 

1 1 

x + x 

= x1 + x2 

= 

x x 

..... 

1 

2 

c. x1 − x2 

= 

d. 

3 3 

1 

x2 

x + 

1 

2 

2 

( x + x ) − x x ..... 

1 2 

4 

1 2 

= 

3 

1 2 

3 

1 2 1 2 

= 

= ( x + x ) − x x ( x + x ) .... 

LATIHAN SOAL 

1. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari : 

a. 

x 

2 

− 5x + 2 = 0 

b. 

3x 

2 + x − 6 = 0 

2. Jika x 

1 

dan x 

2 

akar-akar persamaan 3x 2 − 4x + 1 = 0, maka tentukan harga : 

a. 

2 2 

1 

x2 

x + b. 

1 1 

x + x 

c. 

1 

2 

2 

x1 − x 2 

d. 

3 3 

1 

x2 

3. Tentukan n agar nx + 5x + 4 = 0 hasil kali akar-akarnya 1 atau akar-akarnya saling 

berkebalikan. 

x + 

4. Tentukan n agar 4x 2 + nx + 3 = 0 akar-akarnya berlawanan tanda. 

2 

5. Tentukan n agar x + 10x 

+ n = 0 hasil kali akar-akarnya 5. 


-7- 

4. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT 

4.1 Persamaan Kuadrat Yang Akar-akarnya 

x 1 


x 2 

. 

Digunakan rumus sebagai berikut : 

2 

( x − x )( x − x ) = atau x − ( x + x ) x + x x 0 

1 2 

0 

1 2 1 2 

= 

Contoh 1: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan –3 

x − x 

x − x 

Jawab : Cara I : ( )( ) 0 

1 2 

= 

..... 

2 

Cara II : x − ( x + x ) x + x x = 0 

1 

2 

1 

2 

..... 

4.2 Persamaan Kuadrat Yang Akar-akarnya Berhubungan Dengan Akar-akar 

Persamaan Kuadrat Lainnya 

Misal 

x 1 


x 2 

kuadrat baru, dimana 

ada 2 cara, yaitu : 

akar-akar dari 

1 

ax 

y 

1 

= kx dan y = kx 

1. Cara I : Substitusi y = kx atau 

2 

2 

x = 

2. Cara II: dengan menggunakan rumus : 

+ bx + c = 0 

y 

k 

2 

ke 

, sedangkan 

y1 dan y 2 

akar-akar persamaan 

, maka cara menentukan persamaan kuadrat baru itu 

ax 

2 

+ bx + c = 0 

( y1 

+ y2) x + y1 

y2 

= 0 dim ana y1 

= kx1 

dan y2 

kx2 

2 

x − 

= 

, lalu ganti y dengan x 

Contoh 2: Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 kali akar-akar 

x 

2 

− 5x + 3 = 0 

Jawab 

: Cara I : y = 2x maka x = …. 

2 

Substitusi x = …. ke x − 5x + 3 = 0 

…. = 0 

…. = 0 

Ganti y dengan x, maka diperoleh : …. 

Cara II: 

( y1 

+ y2) x + y1 

y2 

= 0 dim ana y1 

= 2x1 

dan y2 

2x2 

2 

x − 

= 

…. 

…. 

LATIHAN SOAL 

1. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya : 

a. 3 dan 4 c. 5 dan –1/2 

b. 2 dan –7 d. –3/2 dan 4/5 

2. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kali akar-akar 3x 

2 − 2x + 1 = 0 


-8- 

3. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1/2 kali akar-akar 

x 

2 

− 2x −8 

= 0 

2 

4. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar x + 4x − 3 = 0 

5. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya kebalikan akar-akar 2x 

2 − 8x + 6 = 0 

B. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT 

Pertidaksamaan kuadrat diselesaikan dengan bantuan garis bilangan, yaitu dengan menguji pada 

masing-masing daerah pada garis bilangan dengan mencantumkan akar-akar persamaan kuadrat. 

Tentukan penyelesaiannya sesuai dengan soal dan tanda “+” atau “-“ pada garis bilangan. 

Contoh 1: Tentukan HP dari : 

x − 3 

x b. 2x 2 + x − 6 0 

c. 0 

x + 4 

2 

a. − 2x −8 

0 

2 

Jawab : a. x − 2x −8 

0 

 

(..........)( ..........) 0 

… … … 

… 

… 

HP:{x/ … } 

b. 

2x 

2 + x − 6 0 

( )( ) 0 

.......... .......... 

… … … 

… 

… 

HP:{x/ … } 

c. 

x − 3 0 

x + 4 

(............. 

)(.......... 

..) 0 

… … … 

… … 

HP:{x/ … } 


-9- 

LATIHAN SOAL 

1. Tentukan HPnya dari pertidaksamaan : 

a. 

b. 

c. 

d. 

x 

x 

x 

2 

2 

2 

+ 3x −18 

0 

+ 8x + 16 0 

+ 10x + 25 0 

2x 

2 + 7x 

0 

e. 

f. 

g. 

7 − 3x 2 4x 

8 

1 

x + 2 

x 

− 5 0 

x −1 

2. Tentukan n agar 

nx 

2 

+ 8x + 4 = 0 

akar-akarnya imajiner 

3. Tentukan n agar 

1 2 

nx 

2 

+ ( n − 4) x −1 

= 0 

akar-akarnya real dan berlainan 

4. Tentukan interval x sehingga f(x) = 

x 

2 

+ 5x + 6 

berada di atas sumbu X 

5. Tentukan interval x sehingga f(x) = − 2x 

2 + 15x 

+ 8 berada di atas sumbu X 

C. FUNGSI KUADRAT 

1. MELUKIS PARABOLA 

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) = 

Kurvanya berupa Parabola. 

ax 

2 

+ bx + c, 

a 0 dan a, 

b, 

c R 

. 

Cara melukis sketsa Parabola, yaitu : 

1. Tentukan titik-titik potong dengan sumbu koordinat 

a. Dengan sumbu X syarat y = 0 

b. Dengan sumbu Y syarat x = 0 

2. Tentukan Titik Puncak dengan rumus TP: 

2 

− b b − 4ac 

 

, 

2a 

− 4a 

 

3. Jika a > 0, maka parabola menghadap ke atas 

Jika a < 0, maka parabola menghadap ke bawah 

4. Gunakan beberapa buah titik bantu jika perlu 

5. Lukis kurvanya dengan menghubungkan titik-titik yang sudah diketahui 

Contoh 1: Lukis parabola berikut : 

2 

a. y = x + 2x 

− 8 

b. 

y = −2x 

2 + x + 6 

2 

Jawab : a. y = x + 2x 

− 8 

- Titik potong dengan sumbu X syarat y = 0, maka : 

2 

0 = x + 2x 

−8 

= …. 

…. 

- Titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0, maka : 

y = … 


-10- 

- Titik Puncak : 

2 

− b b − 4ac 

 

, 

2a 

− 4a 

 

= …. 

- Karena a = … , maka parabola menghadap ke … 

- Beberapa titik bantu : 

x … … … … … … 

y … … … … … … 

- Gambar kurvanya : 

Y 

0 X 

b. y = −2x 

2 + x + 6 

- Titik potong dengan sumbu X syarat y = 0, maka : 

2 

0 = −2x 

+ x + 6 

= …. 

…. 

- Titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0, maka : 

y = … 

- Titik Puncak : 

2 

− b b − 4ac 

 

, 

2a 

− 4a 

 

= …. 

- Karena a = … , maka parabola menghadap ke … 

- Beberapa titik bantu : 

x … … … … … … 

y … … … … … … 

- Gambar kurvanya : 

Y 

0 X 


-11- 

LATIHAN SOAL 

1. Tentukan koordinat titik puncaknya dari : 

a. 

b. 

2 

y = x + 3x 

−18 

2 

y = x + 6x 

+ 9 

c. 

d. 

y = 3x 

2 −12 

y = 4x 

2 + 12x 

2. Lukislah sketsa parabola berikut ini : 

a. 

b. 

c. 

d. 

y = 2x 

2 + 7x 

+ 6 

2 

y = x + 10x 

+ 25 

y = 3x 

2 −12x 

y = 4x 

2 −16 

e. 

f. 

g. 

h. 

2 

y = −x 

− 6x 

+ 7 

y = −4x 

2 + 8x 

+ 5 

y = 8x 

− 2x 

y = 9 − x 

2 

2 

2. MASALAH-MASALAH OPTIMUM 

Jika suatu persoalan yang ada pada sehari-hari dapat dinyatakan dengan fungsi kuadrat, maka 

tentulah ada batas tertinggi atau terendahnya, karena kurvanya berupa parabola. Maka nilai 

optimum (maksimum/minimum) dari persoalan tersebut dapat ditentukan dengan nilai y pada 

koordinat titik puncak, yaitu 

2 

b − 4ac 

− 4a 

Contoh 1: Suatu persegi panjang kelilingnya 24 cm. Tentukan luas maksimumnya ! 

Jawab : K = 2(p + l) 

24 = 2(p + l) maka p + l = … sehingga p = … 

L = p.l 

Substitusi p = … ke L = p.l, maka : 

L = … 

= … merupakan fungsi kuadrat. 

L maks = 

2 

b − 4ac 

− 4a 

= …. 

Contoh 2: Dua bilangan jumlahnya 10. Tentukan kedua bilangan itu, agar hasil kalinya maksimum 

Jawab 

: Misal kedua bilangan itu x dan y, maka x + y = … atau x = … 

Misal hasil kali x dan y dinyatakan dengan z, maka z = xy. 

Substitusi x = … ke z = xy sehingga : 

z = … 

= … merupakan fungsi kuadrat 

2 

b − 4ac 

z maks = 

= … 

− 4a 

Karena x + y = … dan xy = … maka x = … dan y = … 

LATIHAN SOAL 

1. Suatu persegi panjang kelilingnya 100 cm. Tentukan luas maksimumnya 

2. Dua bilangan jumlahnya 16. Tentukan kedua bilangan itu agar hasil kalinya maksimum 


-12- 

3. Dua bilangan selisihnya 6. Tentukan kedua bilangan itu agar hasil kalinya minimum 

4. Persamaan gerak bola yang dilempar ke atas yaitu S( 

t) 

= −10t 

2 + 70t 

. S(t) merupakan jarak yang 

ditempuh setelah waktu t. S(t) dalam satuan meter dan t dalam satuan detik. Tentukan : 

a. tinggi maksimum yang dapat dicapai bola 

b. saat bola mencapai tinggi maksimum 

c. saat bola mencapai tanah 

5. Suatu kolam renang akan dikeringkan. Jika hubungan antara air di kolam dengan waktu adalah 

V ( t) 

= 1600 − 80t 

+ t 

2 

. V(t) yaitu isi air dalam kolam renang setiap waktunya ( 

waktu dalam satuan menit. Kapan isi air kolam itu minimum dan tentukan isi minimumnya ! 

dm 

3 

) dan t yaitu

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?