Solusi Persamaan Linier Simultan - iLab

Modul Praktikum Matematika Lanjut<br />

<strong>Solusi</strong> <strong>Persamaan</strong> <strong>Linier</strong> <strong>Simultan</strong><br />

Obyektif :<br />

1. Mengerti penggunaan solusi persamaan linier<br />

2. Mengerti metode eliminasi gauss.<br />

3. Mampu menggunakan metode eliminasi gauss untuk mencari<br />

solusi<br />

1. Sistem <strong>Persamaan</strong> <strong>Linier</strong><br />

a. Pendahuluan<br />

Secara umum, sistem persamaan linier dinyatakan sebagai berikut<br />

P n : a n1 1 + a n2 2 + ...+ a nn n = b n (1)<br />

dimana a dan b merupakan konstanta, x adalah variable, n =1 2 3 ....<br />

Contoh pertama<br />

Misalnya ada sistem persamaan linier yang terdiri dari empat buah persamaan<br />

yaitu P 1 , P 2 , P 3 , dan P 4 seperti berikut ini:<br />

P 1 : x 1 + x 2 + 3 4 = 4<br />

P 2 : 2 1 + x 2 - x 3 + x 4 = 1<br />

P 3 : 3 1 - x 2 - x 3 + 2 4 = - 3<br />

P 4 : -x 1 + 2 2 + 3 3 - x 4 = 4<br />

Jadi, Sistem <strong>Persamaan</strong> <strong>Linier</strong> adalah sebuah persamaan dimana persamaan ini<br />

merupakan persamaan yang tetap atau merupakan produk dari persamaan yang<br />

23

---

Modul Praktikum Matematika Lanjut<br />

variabel berada di dalamnya. Contohnya, sebuah persamaan yang terdiri dari angka<br />

puluhan untuk disetarakan dengan angka nol. <strong>Persamaan</strong> ini dikatakan linier sebab<br />

mereka digambarkan dalam garis lurus di koordinat Kartesius.<br />

Bentuk umum untuk persamaan linier adalah<br />

Dalam bentuk ini, konstanta m akan menggambarkan gradien garis, lalu<br />

konstanta b akan memberikan titik tempat sumbu-y bersilangan. <strong>Persamaan</strong><br />

seperti x 3 , y 1/2 , dan xy bukanlah persamaan linier.<br />

Contoh sistem persamaan linier dua variabel:<br />

b. Sistem <strong>Persamaan</strong> <strong>Linier</strong> Dua Variabel<br />

<strong>Persamaan</strong> linier yang rumit, seperti di sebut di atas, bisa ditulis dengan<br />

menggunakan hukum aljabar agar menjadi bentuk yang lebih sederhana. Seperti,<br />

contoh, huruf besar di persamaan merupakan konstanta, dan x dan y adalah variabelya.<br />

Bentuk Umumnya :<br />

dimana konstanta A dan B bila dijumlahkan, hasilnya bukan angka nol. Konstanta<br />

dituliskan sebagai A 0, seperti yang telah disepakati ahli matematika bahwa konstanta<br />

tidak boleh sama dengan nol. Grafik persamaan ini bila digambarkan, akan<br />

menghasilkan sebuah garis lurus dan setiap garis dituliskan dalam sebuah persamaan<br />

seperti yang tertera diatas. Bila A 0, dan x sebagai titik potong, maka titik koordinat-<br />

24

---

Modul Praktikum Matematika Lanjut<br />

xadalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-x (y = 0) yang digambarkan dengan<br />

rumus -c/a. Bila B 0, dan y sebagai titik potong, maka titik koordinat- y adalah ketika<br />

garis bersilangan dengan sumbu-y (x = 0), yang digambarkan dengan rumus -c/b.<br />

Bentuk Standar :<br />

dimana, A dan B jika dijumlahkan, tidak menghasilkan angka nol dan A bukanlah angka<br />

negatif. Bentuk standar ini dapat dirubah ke bentuk umum, tapi tidak bisa diubah ke<br />

semua bentuk, apabila A dan B adalah nol.<br />

Bentuk Titik Potong Gradien<br />

Sumbu –y :<br />

dimana m merupaka gradien dari garis persamaan, dan titik koordinat y adalah<br />

persilangan dari sumbu-y. Ini dapat digambarkan dengan x = 0, yang memberikan nilai y<br />

= b. <strong>Persamaan</strong> ini digunakan untuk mencari sumbu-y, dimana telah diketahui nilai dari<br />

x. Y dalam rumus tersebut merupakan koordinat y yang anda taruh di grafik. Sedangkan<br />

X merupakan koordinat x yang anda taruh di grafik.<br />

Sumbu –x :<br />

dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan c adalah titik potong-x, dan titik<br />

koordinat x adalah persilangan dari sumbu-x. Ini dapat digambarkan dengan y = 0, yang<br />

memberikan nilai x = c. Bentuk y/m dalam persamaan sendiri berarti bahwa<br />

membalikkan gradien dan mengalikannya dengan y. <strong>Persamaan</strong> ini untuk mencari titik<br />

koordinat x, dimana nilai y sudah diberikan.<br />

c. Sistem <strong>Persamaan</strong> <strong>Linier</strong> lebih dari dua variable<br />

Sebuah <strong>Persamaan</strong> linier lebih daru dua variable seperti berikut ini :<br />

25

---

Modul Praktikum Matematika Lanjut<br />

dimana dalam bentuk ini, digambarkan bahwa a 1 adalah koefisien, x dan n merupakan<br />

variabel dan b adalah konstanta.<br />

d. Susunan <strong>Persamaan</strong> <strong>Linier</strong><br />

1. Susunan Persamaa <strong>Linier</strong> Homogen<br />

Kalau semua konstanta b i = 0, persamaan menjadi AX = 0.<br />

Susunan :<br />

26

---

Modul Praktikum Matematika Lanjut<br />

Disebut susunan persamaan linier homogen.<br />

2. Susunan <strong>Persamaan</strong> <strong>Linier</strong> NonHomogen<br />

Pandang susunan persamaan linier AX = B, dimana B 0.<br />

A 1 x 1 + A 2 x 2 + … + A n x n = B dimana A 1 , A 2 , …, A n adalah vector-vektor kolom<br />

dari matriks koefisien A 1 . Susunan persamaan linier di atas disebut<br />

nonhomogen.<br />

2. Metode Eliminasi Gauss<br />

a. Pendahuluan<br />

Metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau<br />

mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas.<br />

Metode eliminasi gauss : metode dimana bentuk matrik augmented, pada bagian kiri<br />

diubah menjadi matrik segitiga atas /segitiga bawah dengan menggunakan OBE (<br />

Operasi Baris Elementer ).<br />

27

---

Modul Praktikum Matematika Lanjut<br />

Sehingga penyelesaian dapat diperoleh dengan :<br />

Operasi Baris Elementer (OBE) : operasi pengubahan nilai elemen matrik<br />

berdasarkan barisnya, tanpa mengubah matriknya. OBE pada baris ke-i + k<br />

dengan dasar baris ke i dapat dituliskan dengan :<br />

a i + k, j = ai + k, j – c.a i,j dimana c : konstanta pengali dari perbandingan nilai dari<br />

elemen a i,j dan a i + k,i .<br />

Jadi prinsipnya Eliminasi Gauss ( EGAUSS ) : merupakan operasi eliminasi dan<br />

substitusi variable-variabelnya sedemikian rupa sehingga dapat terbentuk matriks<br />

segitiga atas, dan akhirnya solusinya diselesaikan menggunakan teknik substitusi<br />

balik ( backsubstitution ).<br />

28

---

Modul Praktikum Matematika Lanjut<br />

b. Algoritma Metode Eliminasi Gauss<br />

Algoritma Metode Eliminasi Gauss adalah sbb :<br />

1. Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n<br />

2. Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A<br />

3. Untuk baris ke i dimana i=1s/d n, perhatikan apakah nilai a i,i =0 :<br />

Bila ya : pertukarkan baris ke i dan baris ke i+k n,dimana a i+k ,i0, bila tidak<br />

ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan<br />

tanpa penyelesaian.<br />

Bila tidak : lanjutkan<br />

4. Untuk baris ke j, dimana j =i+1 s/d n<br />

Lakukan operasi baris elementer :<br />

Hitung<br />

Untuk kolom k dimana k=1 s/d n+1hitung<br />

Hitung akar, untuk i =n s/d 1( bergerak dari baris ke n sampai baris<br />

pertama) :<br />

dimana nilai i+k n.<br />

c. Teknik Pivoting dalam Metode Eliminasi Gauss<br />

Dalam beberapa kasus, terutama bila dijumpai matriks-matrik yang bersifat<br />

‘singular’ karena adanya ‘kombinasi linier’, solusi secara langsung menggunakan<br />

algoritma metode eliminasi Gauss tidak memberikan hasil dan ketelitian yang baik,<br />

bahkan seringkali memberikan hasil yang meleset jauh dari yang diharapkan. Untuk<br />

29

---

Modul Praktikum Matematika Lanjut<br />

menghindari fenomena tersebut, diperlukan modifikasi dari algoritma eliminasi<br />

Gauss. Pada prinsipnya, modifikasi tersebut dilakukan dengan memperhatikan halhal<br />

berikut:<br />

ð Harga pivot diambil yang terbesar dari setiap baris dan kolom yang sesuai,<br />

yaitu komponen ii a ,<br />

ð Pemilihan pivot dilakukan berdasarkan ‘pembandingan harga<br />

(maksimum)’ dari setiap elemen j ji a ³ " i,<br />

terbesar<br />

ð Untuk hasil terbaik, sebaiknya gunakan variabel ‘presisi ganda’<br />

(DOUBLE PRECISION atau REAL*8).<br />

30