Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to LOGMAT
More from siska sri asali
More from siska sri asali (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
LOGMAT
- 1. LOGIKA MATEMATIKA A. Definisi Logika Logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas antara penalaran yang tepat dengan penalaran yang tidak tepat. B. Proposisi Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value). Jadi proposi adalah βPernyataan yang sudah diketahui nilai kebenarannya.β Contoh : Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama. C. Proposisi Komposit (Pernyataan Majemuk) Proposisi komposit adalah pernyataan yang memuat perangkaian yang diperoleh dari pengkombinasian. Jadi, pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal (komponen) yang dirangkai dengan menggunakan kata penghubung logika. Macam-macam proposisi majemuk: 1. Konjungsi (π β§ π) Konjungsi adalah dua pernyataan digabungkan dengan kata penghubung "dan". Simbol: "β" Kata yang dipakai: dan, tetapi, ketika, seandainya, seperti, bahwa, walaupun, supaya. Contoh: 2 adalah bilangan prima genap dan 5 adalah bilangan prima ganjil. 2. Disjungsi (π β¨ π) Disjungsi adalah dua pernyataan digabungkan dengan kata penghubung "atau". Simbol: " β¨ " Kata yang dipakai: atau, alias, kalau, apakah, dll. Contoh: Anto dilahirkan di kota Jakarta atau Anto dilahirkan di rumah sakit swasta
- 2. 3. Negasi atau Ingkaran (~π ππππ ~π) Negasi adalah sebuah pernyataan yang bernilai benar, maka negasinya adalah salah dan begitu pula sebaliknya. Simbol: "~" Kata yang dipakai: tidak, bukan, tidak benar,dll. Contoh: p = Pohon ini tinggi ~π = Pohon ini ππ’πππ€ tinggi atau tidak benar bahwa pohon ini tinggi. 4. Implikasi (π β π) Implikasi adalah dua pernyataan yang mengandung bentuk " jika ... maka ..." Simbol: " β " Kata yang dipakai: jika p maka q; jika p,q; p mengakibatkan q; q jika p; q bilamana p; p hanya jika q; q syarat perlu bagi p; p syarat cukup bagi q. Contoh: Jika air habis maka manusia akan mati. 5. Biimplikasi ( π β π) Biimplikasi adalah dua pernyataan yang mengandung bentuk " ... jika dan hanya jika ...". Simbol: " β " Kata yang dipakai: p adalah syarat perludan cukup, jika p maka q atau sebaliknya, piff q. Contoh: Jantung berdetak jika dan hanya jika manusia hidup. D. Tabel Kebenaran Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi atomiknya dan cara mereka dihubungkan oleh operator logika. Misalkan p dan q adalah proposisi: a. Konjungsi. (π β§ π) bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah. b. Disjungsi (π β¨ π) bernilai salah jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya benar. c. Negasi p (βΌ π) bernilai benar jika p salah, sebaliknya bernilai salah jika p benar.
- 3. d. Implikasi (π β π) bernilai salah jika p benar tetapi q salah, selain itu bernilai benar. e. Biimplikasi ( π β π) bernilai benar apabila kedua pernyataan tersebut bernilai sama. Konjungsi Disjungsi Negasi Implikasi Biimplikasi E. Varian Proposisi Bersyarat Ada 3 varian pada implikasi, yaitu : a. Konvers : π β π b. Invers : ~π β ~π c. Kontraposisi : ~π β ~π Dari tabel kebenaran terlihat bahwa nilai kebenaran p ο q sama dengan nilai kebenaran ~q ο ~p. Begitu pula nilai kebenaran q ο p sama dengan nilai kebenaran ~p ο ~q. Tabel kebenaran hubungan antara implikasi-implikasi tersebut seperti di bawah ini: Implikasi Konvers Invers Kontraposisi p q ~p ~q p ο q q ο p ~p ο ~q ~q ο ~p B B S S B S B S S S B B S B S B B S B B B B S B B B S B B S B B
- 4. F. Tautologi, Kontradiksi, Kontingensi Berikut definisi dari tautology, kontradiksi, dan kontingensi. 1. Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. 2. Kontradiksi adalah suatu proporsi majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan kombinasi nilai kebenaran dari proporsi-proporsi pembentuknya. 3. Kontingensi adalah suatu proporsi majemuk yang bukan termasuk tautologi dan bukan juga kontradiksi. G. Ekivalen Logika (β‘) Ekivalen adalah jika dua pernyataan majemuk mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen- komponennya. Contoh: Tunjukkan bahwa: ~ (p v q) β‘ (~ p Κ ~ q) p q ~p ~q p v q ~(p v q) (~p Κ ~q) B B S S B S B S S S B B S B S B B B B S S S S B S S S B Jadi: Pernyataan tersebut benar , karena ~(p v q) β‘ (~p Κ ~q). H. Hukum Proposisi Hukum proposisi bermanfaat untuk membuktikan keekivalenan dua buah proposisi. 1. Hukum Identitas π β¨ π β‘ π π β§ π΅ β‘ π 6. Hukum Absorpsi π β¨ ( π β§ π) β‘ π π β§ (π β¨ π) β‘ π 2. Hukum Null (Dominisasi) π β§ π β‘ π π β¨ π΅ β‘ π΅ 7. Hukum Komutatif π β¨ π β‘ π β¨ π π β§ π β‘ π β§ π 3. Hukum Negasi π β§βΌ π β‘ π π β¨βΌ π β‘ π΅ 8. Hukum Asosiatif π β¨ ( π β¨ π) β‘ (π β¨ π) β¨ π π β§ ( π β§ π) β‘ (π β§ π) β§ π 4. Hukum Idempoten π β¨ π β‘ π π β§ π β‘ π 9. Hukum Distributif π β¨ ( π β§ π) β‘ ( π β¨ π) β§ (π β¨ π) π β§ ( π β¨ π) β‘ ( π β§ π) β¨ (π β§ π) 5. Hukum Involusi ~(~π) β‘ π 10. Hukum De Morgan βΌ ( π β¨ π) β‘ βΌ π β§ βΌ π βΌ ( π β§ π) β‘ βΌ π β¨ βΌ π
- 5. I. Inferensi (Penarikan Kesimpulan) Interferensi (inference) adalah proses penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi. 1. Modus Ponen π β π π β΄ π 6. Penjumlahan π β΄ π β¨ π 2. Modus Tollen π β π ~π β΄ ~π 7. Konjungsi π π β΄ π β§ π 3. Silogisme Hipotesis π β π π β π β΄ π β π 8. Absorbi π β π β΄ π β (π β§ π) 4. Silogisme Disjungsi π β¨ π ~π β΄ π 9. Dilema Konstruktif ( π β π) β§ (π β π‘) β΄ πβ¨ π‘ 5. Simplikasi (Penyederhanaan) π β§ π β΄ π 10. Dilema Distruktif ( π β π) β§ (π β π‘) ~ π β¨ βΌ π β΄ βΌ π β¨ βΌ π J. Kuantor Kuantor adalah kalimat terbuka yang dibubuhkan dengan kata atau ucapan, sehingga kalimat tersebut menjadi tertutup. Kuantor terbagi dua, yaitu: 1. Kuantor Universal (β) Pernyataan kuantor universal βSemua A adalah Bβ ekuivalen dengan pernyataan implikasi βJika π₯ β π΄, ππππ π₯ β π΅". Simbol : β (dibaca: untuk semua atau untuk setiap) Contoh : βSemua penjahat memakai topengβ, ekuivalen dengan βJika x seorang penjahat, maka x memakai topengβ. Misalkan p(x) adalah sebuah kaliamat terbuka, maka untuk menyatakan penyelesaian dari p(x) pada himpunan semesta S dituliskan sebagai berikut: β π₯, π₯ β π΄ β π₯ β π΅
- 6. 2. Kuantor Eksistensial (β) Pernyataan berkuantor eksistensial β Beberapa A adalah Bβ ekuivalen dengan βSekurang-kurangnya ada sebuah π₯ β A yang merupakan β π΅". Simbol : β (dibaca: ada atau beberapa) Tanda : terdapat, ada, beberapa, sekurang β kurangnya . Contoh : βBeberapa kuda berwarna coklatβ, ekuivalen dengan βSekurang-kuranganya ada seekor kuda yang berwarna coklatβ. K. Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor 1. Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Universal Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah sebuah pernyataan berkuantor eksistensial. Notasi : Dibaca: ingkaran dariβ untuk semua x yang berlaku p(x)β ekuivalen dengan βada x yang bukan p(x)β. Contoh: Diketahui: p = β Semua bilangan prima adalah bilangan asliβ Tentukan : ~π serta nilai kebenarannya. Jawab : ~π = βBeberapa biangan prima bukan bilangan asliβ ~π bernilai salah. βπ₯, π(π₯) dibaca: untuk semua x berlakulah p(x) atau βπ₯ β π, π(π₯) dibaca: untuk semua x anggota S berlakulah p(x) βπ₯, π₯ β π΄ dan π₯ β π΅ ~[βπ₯, π( π₯)] β‘ βπ₯, ~π(π₯)
- 7. 2. Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Eksistensial Ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah sebuah pernyataan berkuantor universal. Notasi : Dibaca : ingkaran dari βada x berlaku p(x)β ekuivalen dengan βuntuk semua x bukan p(x)β. Contoh: Diketahui: p = βBeberapa bilangan prima adalah bilangan genapβ Tentukan : ~π serta nilai kebenarannya. Jawab : ~π = βSemua bilangan prima bukan bilangan genapβ, atau ~π = βTidak ada (tiada) bilangan prima yang bilangan genapβ, atau ~π = βJika x adalah bilangan prima, maka x bukan bilangan genapβ. Jadi, jelas bahwa ~π bernilai salah. ~[βπ₯, π( π₯)] β‘ βπ₯, ~π(π₯)
- 8. DAFTAR PUSTAKA Buku Catatan PDM (Pendidikan Dasar Matematika) Semester I Munir, Rinaldi. 2014. Matematika Diskrit. Bandung : Informatika Bandung. Wirodikrotomo, Sartono. 2007. Matematika Jilid 1untuk kelas X. Jakarta: Erlangga. http://achieve-ourdreams.blogspot.co.id/2012/05/makalah-logikamatematika.html http://www.ahmadkurniadi.com/2014/01/logika-matematika.html http://rumus-matematika.com/logika-matematika/