Matematika

Modul Matemaika Kelas 11 | 1
Nama :…………………………………………………………….
Kelas :…………………………………………………………….

INFORMASI DAN PETUNJUK PENGGUNAAN
1. Pelajarimateriterlebihdahulu
2. Kerjakansetiaplatihansoal yang adadi setiap KD
3. Kumpulkansetiaplatihansoalsetelahselesaidikerjakan
4. Pengumpulanhasil latihansoaldapatdilakukansetiapakhirbulandanataupada saat berangkatke sekolah.
5. Tidakmengumpulkantugassamadengantidakmemilikinilai untukKD tersebut.
Pertanyaan dan pengumpulan tugas dapat dikirim via
Alamat E_mail: ic_diq@yahoo.com

KOMPETENSI DASAR
3.22 Menentukan masalah kontekstual yang berkaitan dengan logikamatematika (pernyataan sederhana, negasi
pernyataan sederhana,pernyataanmajemuk, negasipernyataanmajemukdanpenarikankesimpulan).
3.23 Menganalisistitik,garis danbidangpadageometridimensi tiga
3.24 Menetukan masalahkontekstualyangberkaitandengantransformasigeometri

KD.3.22
LOGIKA MATEMATIKA
A. Pernyataan dan kalimatterbuka.
Dalam membicarakansesuatu, orangmemerlukanbahasa,salahsatu unsurpentingdalam bahasaadalah
“kalimat”, yaitu rangkaiankatayang mempunyaiartidan disusunmenurutaturantertentu. Dalam matematikadikenal
2 macam kalimatyaitu: kalimattertutupdan kalimatterbuka.
Kalimattertutup : Kalimatdeklaratifdan pernyataan
Pernyataan : Kalimatdeklaratifyang mempunyai nilaibenaratau salah,tetapi tidaksama-samabenardan
salah
Contoh :
1. Jakarta Ibu kota Indonesia.
2. 3 + 6 = 8
3. Semua bilanganprimaadalahganjil.
4. Ambillahbarangitu!
5. Bungaitu sangat indah.
Penjelasan:
(1) Adalah pernyataanyang bernilaibenar
(2) Pernyataan yang bernilaisalah
(3) Pernyataan yang bernilaisalah
(4) Bukan pernyataan( bukan kalimatdeklaratif)
(5) Bukan pernyataan(Nilaikebenarannyatidakpasti)
Kalimatterbuka : Kalimatyang belum dapatditentukannilaikebenarannya
( biasanya menggunakanvariabel/peubah).
Contoh.1:
1. 3 + 𝑥 = 6
2. 𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 0
Kalimatterbukamemuatvariabel,yang akanberubahmenjadipernyataanjikavariabelnya digantiolehsalahsatu
anggotasemestapembicaraan
Contoh.2:
1. 𝑥2 + 5𝑥 − 24 = 0
Kalimattersebutmenjadipernyataanyang benarjika 𝑥 diganti – 8 atau 3 ,
Himpunan {−8 , 3}disebuthimpunanpenyelesaiandarikalimatterbuka 𝑥2 + 5𝑥 − 24 = 0
B. Pernyataan majemuk(pernyataan komposisi)
Suatu pernyataantunggaldapat dinyatakandalam lambang,misalnyap, q , r dan sebagainya.Duapernyataan
tunggalatau lebih dapatgabungkanmenjadisatupernyataanmajemukataupernyataankomposisidengan
menggunakankatahubungLogikatertentu.

1. Konjungsi
Duapernyataan tunggalp danq dapat dikomposisidenganmenggunakankatahubung“dan”untuk
membentuk pernyataanmajemukyangdisebut Konjungsidarip danq. Konjungsidaripdan q dilambangkan
dengan“p  q “ (dibacapdan q)
Nilaikebenaransuatukonjungsi ditentukan olehpernyataanpernyataan penyusunnya.
Jika pernyataanp bernilaibenardanpernyataan q bernilaibenar maka p  q benar, jika tidakdemikian
makap  q bernilaisalah.
Ketentuantersebut dapat dinyatakandalam tabelkebenaransebagaiberikut:
p q p  q
B B B
B S S
S B S
S S S
2. Disjungsi
Duapernyataan tunggalp danq dapat dikomposisidenganmenggunakankatahubung“atau”untuk
membentuk pernyataanmajemukyangdisebut Disjungsidari p danq. Disjungsidaripdan q dilambangkan
dengan“p  q “ (dibacapatau q)
Nilai kebenaransuatudisjungsi ditentukanoleh pernyataanpernyataan penyusunnya.
Jika pernyataanp bernilaibenaratau pernyataanq bernilaibenar atau kedua-duanyabernilaibenar
makap  q benar, jikatidak demikianmakap  q bernilaisalah.
Dengankata laindisjungsiduapernyataanbernilaisalahhanyajika keduapernyataanpenyusunnya
bernilaisalah.
p q p  q
B B B
B S B
S B B
S S S
3. Ingkaran atau Negasi
Dari pernyataantunggalp yang diketahui,dapatdi buatpernyataan lainyang disebut ingkaran/ negasi
darip denganmenempatkanperkataan“tidakbenar“didepanpernyataan p atau denganmenyisipkankata“tidak
“di dalam pernyataanp.Ingkaran daripernyataan p dilambangkandengan  p
Jika p bernilaibenarmaka Pbernilaisalahatausebaliknya
Contoh :
1. Jika P : “ 12321habisdibagi3”
maka:  p : “ 12321tidak habisdibagi3”
2. Jika p : Semuaburungpandaiterbang
maka  p : Tidakbenarsemuaburungpandaiterbang
atau  p : Beberapaburungtidakpandaiterbang.

3. Jika p : 2 + 5  7
maka  p : 2 + 5  7
ketentuantentang nilaikebenaran dari ingkaran, disajikandalam tabelberikut
P  p
B S
S B
D. Implikasi atau pernyataanbersyarat
Duapernyataan tunggalp danq dapat dikomposisidenganmenggunakankatahubung :
“Jika …. Maka …. ”
untuk membentuk pernyataanmajemukyangdisebut Implikasiataupernyataanbersyarat. Implikasi:” Jika p maka q
“ dilambangkandengan“p  q “ (dibacaJika p maka q)
Implikasi p  q dapat jugadibacasebagai :
(i) p hanya jika q
(ii) q jikap
(iii) p syarat cukupbagiq
(iv) q syarat perlubagip
Dalam implikasi p  q , pernyataan p disebut alasan atau sebab (antecedent) , dan pernyataan q sering disebut
kesimpulan atauakibat(Consequent)
NilaikebenaransuatuImplikasi ditentukan olehpernyataanpernyataan penyususnnya.
Jika pernyataan p bernilai benar dan pernyataan q bernilai salah maka p  q bernilai salah , jika tidak demikian
makap  q bernilaibenar.
p q p  q
B B B
B S S
S B B
S S B
Contoh:
1. “Jika 2 + 2 = 5 maka 5 Bilanganprima” (benar)
2. “ Jika 2+3 = 5 maka5 bukanbilanganprima“ (salah)
3. “Jika 2 + 2 = 5 maka5bukan bilanganprima“ (benar)
E. iImplikasi atau Ekuivalensi(Implikasi dwi arah ).
Kini kita sampaipadapemakaiankatahubung terakhiryang erat kaitannya denganimplikasi Dari duapernyataan
p danq yang diketahuidapatdibuat pernyataan majemuk dalam bentuk“ p jikadan hanyajikaq”yangdisebut
denganBiImplikasiatau ekuivalensi (Implikasi dwi arah ).
Ekuivalensi “P jikadan hanyajikaq”dinyatakandenganlambang “ p  q “
Ekuivalensi p  q dapatjugadibaca :
(i) jikap makaq dan jikaq makap
(ii) p syarat perludan cukupbagiq
(iii) q syarat perludan cukupbagip

Ekuivalensi p  q menegaskanbahwa: jikap benarmakaq benardan jikap salahmakaq salah
Ketentuan tentang nilai kebenaransuatu BiImplikasi ,disajikandalam tabelberikut:
p q p  q
B B B
B S S
S B S
S S B
Dari tabel kebenarandapatkita ketahuibahwa:
Ekuivalensi p  q benarjika, p danq mempunyainilaikebenaranyangsama, jikap dan q mempunyainilai
kebenaranyang berlawan makaBiimplikasip  q bernilaisalah.
Latihan I
Tentukannilaikebenarandaritiappernyataanberikut ini
1. Persamaankuadratyang akarnya 4 dan – 3 adalah 𝑥2 − 𝑥 = 12.
2. Persamaangarissinggungkurva y= 𝑥2 – 1 dengangradien 4 adalah 𝑦 = 4𝑥 − 5
4. 2Log 16 = 3 dan Cos30o = 1/23
5. X2 – 4X + 3 = 0 mempunyaiakarrealdan 9=  3
6. 2 + 3 = 5 atau Cos 180o = 0
7. Jika Persamaankuadratmempunyaiduaakarberbedamakanilaideskriminannya  0
8. Jika 7 bukanbilanganprimamaka7bilanganganjil.
9. 2 + 5  7 jikadan hanya jika7 bilangangenap
F. Pernyataan majemukyang ekuivalen(ekuivalen Logis)
Duapernyataan majemukdisebutekuivalen (ekuivalenlogis)jika untuk semua kemungkinandari nilai
kebenarankomponen-komponennya, keduapernyataan majemukitumempunyainilaikebenaranyangsama.Untuk
menyelidikiekuivalenatautidaknya duapernyataan majemukkitamenngunakantabelkebenaran.Untukmenyatakan
duapernyataan ekuivalendilambangkandengan“  ”
Contoh:
1. Kitatunjukkandengantabel kebenaranbahwa:
a. (p  q)  ( p   q )
b. . (p  q)  ( p   q ) Disebutdalil DeMorgan
a. Tabelkebenaranuntuk : (p  q)  ( p   q )
p q  p  q p  q (p  q) ( p   q )
B B S S B S S
B S S B B S S
S B B S B S S
S S B B S B B
Nilai logisnya sama
Pada kolom ke enam dan ke tujuh terlihat bahwa pernyataan majemuk itu untuk semua nilai
kemungkinanpdanqmempunyainilaikebenaranyangsama.

b. tabel kebenaranuntuk(p  q)  ( p   q )
p q  p  q (p  q) (p  q) ( p   q )
B B S S B S S
B S S B S B B
S B B S S B B
S S B B S B B
Nilai logisnya sama
Pada kolom ke enam dan ke tujuh terlihat bahwa pernyataan majemuk itu untuk semua nilai
kemungkinanpdanqmempunyainilaikebenaranyangsama.
Contohpemakaian:
a. Ingkarandari : “ Hariinihujandan anginbertiupkencang“
Adalah : “ Hari initidak hujanatauanginbertiuptidak kencang”
b. Ingkarandari:”2 + 2 = 5 atau 5 bilanganprima“
Adalah : “ 2 + 2  5 dan 5 bukanbilanganprima”
2. Kitatunjukkandengantabel kebenaranbahwa: (p  q)  ( p   q )
Tabel kebenaranuntuk (p  q)  ( p   q ) sebagaiberikut :
p q  q p  q (p  q) ( p   q )
B B S B S S
B S B S B B
S B S B S S
S S B B S S
Nilai logisnya sama
Daritabel kolom kelimadankeenam terlihatbahwakeduapernyataanmajemukdiatasekuivalen.
Contohpemakaian:
a. Ingkarandari “ Jika harihujanmakajalanbasah”
Adalah : “ Harihujandanjalantidak basah”
Atau “ harihujantetapi jalantidakbasah”
b. Ingkarandari :” Jika mandortidakdatangmaka semuakulisenang”
Adalah : “ Mandortidakdatangtetapi adakuli yang tidak senang”
G. Konvers,Inversdan Kontraposisi
Darisuati Implikasi p  q dapatdi susunpernyataanbaru bentuk
(i) q  p yang disebut konvers dari p  q
(ii) p  q yang disebut Invers dari p  q
(iii)q  p yang disebut Kontraposisi dari p  q

Hubunganantara konvers invers dankontra posisidapat ditunjukkandengantabelberikutini.
Implikasi Konvers Invers Kontraposisi
p q  p  q p  q q  p p  q q  p
B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B
Nilai logisnya sama
Dari tabel dapatkita lihat bahwa
p  q  q  p
q  p  p  q
contoh :
Implikasi “ Jika 2 + 5 = 7 maka7 bilanganganjil“
adalah ekuivalen dengan
“ Jika 7 bukanbilanganganjilmaka2+ 5  7
Latihan 2
1. Buatlahpernyataan ingkaran daripernyataanmajemukberikutini:
a. SegitigaABC adalahsiku-sikudansamakaki.
b. Kudabinatangmenyusuiatau binatangmemamahbiak.
c. Jika hargaminyaknaik makasemuahargabarangnaik.
d. Jika x bilanganrealdenganx< 2 makaX2 < 4.
e. Jika Amir naikkelas makaiadibelikansepeda.
2. Buatlahkonvers . invers dankontraposisidaritiapimplikasiberikut.
a. Jika n bilanganganjilmakan2 bilanganganjil
b. Jika X =5 makaX2 = 25
c. Jika duasegitigamempunyaibesarsudut-sudutyang sama makasisisisi yang sesuai sebanding.
d. Jika X + 1 = 0 makaX2 = 1
e. X < 1  X2 < 1
3. Tunjukkandengantabelkebenaran bahwa pernyataanmajemukberikutekuivalen
(ekuivalenlogis).
a. p  q  (  p  q )
b. p  (q  r)  (p  q)  ( p  r)
c. p  q  (p  q)  (q  p)
-------------------------

H. Rangkumanrumus-rumusLogikaFormal
Untuk p , q danr pernyataantunggalberlaku :
1. a. p  q  q  p
b. p  q  q  p sifat Komutatif
2. a. (p  q )  r  p  (q  r)
b. (p  q )  r  p  (q  r) sifat assosiatif
3. a. p  ( q  r)  (p  q)  (p  r)
b. p ( q  r )  (p  q)  (p  r) sifat distributif
4. a. p  q  p
b. p  q  p
5. a. p  q  (  p  q )
b. p q  (  q  p )
c. p  q   (p   p )
6. p  q  (p  q)  (q  p)
p  q   (p   p )
[
7. a. (p  q)  ( p   q )
b. (p  q)  ( p   q ) DisebutdalilDe Morgan
8.  (p)  p
I. Pernyataan berkuantor
Dalam pembicaraanterdahulukitadapatmengubahkalimatterbukamenjadi pernyataan,denganmengganti
variabelnya dengansalahsatu anggotasemestapembicaraan. Caralainuntukmengubah kalimatterbukamenjadi
pernyataan adalahdenganmenggunakankuantor,suatu ungkapanuntukmenyatakan“berapabanyak”.Misalkan
p(X) suatu kalimatterbukapadasuatuhimpunansemestaSkita dapatmembuatpernyataansebagaiberikut:
“Untuk semua xanggota S berlaku p(x)”
pernyataan tersebutditulis denganlambangsebagaiberikut:
“x S . p(x) “ di baca “ Untuk semua X anggota S berlaku p(x)”
lambang “” disebutkuantorUniversal ,dibaca“untuk semua”
Denganmeletakkankuantordidepankalimatterbuka, diperolehsuatupernyataan
Contoh :
Jika p(x) : adalah “X + 3 = 5” dengansemestapembicaraanbilanganbulatB, maka
“x B . 2 + X = 5 “ dibaca“ semuaxanggotabilanganbulatberlaku2+ x = 5” ,
merupakanpernyataanyang salah.
Caralain untuk mengubahkalimatterbukamenjadipernyataanadalahdenganmenambahkanperkataan adaatau
beberapa
Misalkan 𝑝(𝑥) suatukalimatterbukapadasuatu himpunansemestaSkita dapatmembuatpernyataansebagai
berikut:
“Ada x anggotaSberlaku 𝒑(𝒙)”
pernyataan tersebutditulis denganlambangsebagaiberikut:

“x S . p(x) “ di baca “ Ada X anggotaSberlaku p(x)”
lambang “” disebutkuantor eksistensial ,dibaca“ada atau beberapa”
denganartianminimal adasatuanggotaSyang memenuhi
contoh:
Jika p(x) : adalah “X + 3 = 5” dengansemestapembicaraanbilanganbulatB, maka
“x  B . 2 + X = 5 “ dibaca“adax anggotabilanganbulatberlaku2+ x = 5” ,
merupakanpernyataanyang benar.
J. Ingkaran pernyataan berkuantor
Daripernyataan berkuantor:
“x B. 2 + X = 5 “ dibaca
“ semuax anggotabilanganbulatberlaku2+ x = 5”
dapatditentukannegasinyayang dengankalimatdapatdinyatakan:
“tidak benarsemuax anggotabilanganbulatberlaku2+ X = 5”
ini mengandungartianadaanggotabilanganbulatyangtidak berelaku2+ X = 5”
sehinggadapatdilambangkandengankuantor:
“x B . 2 + X  5“
Secaraumum dapatdilambangkansebagai berikut:
 (x S) . p(x)  (x S) .  p(x)
 (x S) . p(x)  (x S) .  p(x)
Contoh:
1. Ingkarandari : “ (x B) . 2 + X = 5 “
Adalah : “(x B) . 2 + X  5 “
2. Ingkarandari: “(x B) . X2 – 4X + 3 = 0 “
Adalah : “(x B) . X2 – 4X + 3  0 ”
Latihan 3
1.. Tentukannilaikebenaranpernyataanpernyataanberikut:
a. x R) . X2 + 2X + 3 = 0
b. x R) . X2 - X = 0
c. (x R). X2 = 9  X = 3
d. (x B). “(y B) . x < y
2. Gunakankuantoruntuk menyatakanpernyataanberikut
a. X2 + 1 = 0 tidak mempunyaiakarreal
b. Setiapbilanganbulatgenapatauganjil
c. Setiapbilangarealx mempunyaiinversperkalian.
d. Untuk setiapbilanganrealx adabilanganrealy sehinggax+ y = 0
3.Buatlahingkaranpernyataanberikut :
a. (x R) . X3 > X
b. (x Q) . 2X2 - X - 1 = 0 (Q Himpunanbilanganrasional)

K. Invers,konversdanKontraposisi
Secaraumum yangdimaksuddengankonvers,invers dan kontraposisidapatdiperhatikan diagramberikut:
Perhatikancontoh-contohberikut:
Contoh.1:
Implikasi : Jika 7 adalah bilangan prima maka Jakarta ibu kota republik Indonesia
Konvers : Jika Jakarta ibu kota republik Indonesia maka 7 adalah bilangan prima
Invers : Jika 7 bukan bilangan prima maka Jakarta bukan ibu kota republik Indonesia
Kontraposisi : Jika Jakarta bukan ibu kota republik Indonesia maka 7 bukan bilangan prima
Contoh.2:
Implikasi : Jika x habis dibagi 3 maka x habis pula dibagi 6
Konvers : Jika x habis dibagi 6 maka x habis pula dibagi 3
Invers : Jika x tidak habis dibagi 3 maka x tidak habis pula dibagi 6
Kontraposisi : Jika x tidak habis dibagi 6 maka x tidak habis pula dibagi 3
Contoh.3:
Implikasi : Jika 6 habis dibagi 3 maka 6 bilangan ganjil
Konvers : Jika 6 bilangan ganjil maka 6 habis dibagi 3
Invers : Jika 6 tidak habis dibagi 3 maka 6 bukan bilangan ganjil
Kontraposisi : Jika 6 bukan bilangan ganjil maka 6 tidak habis pula dibagi 3
Contoh.4:
Implikasi : Jika 𝑥 + 3𝑦 = 7 maka −4𝑥 + 6𝑦 = 10
Konvers : Jika −4𝑥 + 6𝑦 = 10 maka 𝑥 + 3𝑦 = 7
Invers : Jika 𝑥 + 3𝑦 ≠ 7 maka −4𝑥 + 6𝑦 ≠ 10
Kontraposisi : Jika −4𝑥 + 6𝑦 ≠ 10 maka 𝑥 + 3𝑦 ≠ 7
Latihan 4
Tentukan konvers,inversdan kontraposisi dari pernyataan implikasi berikut:
1. Jika 𝑥 < 5 maka3𝑥 + 1 < 15
2. Jika cuaca cerah, maka matahari bersinar
3. Jika CR7 diturunkan, maka Juventus menang
4. Jika 𝑥 = −4 maka 12𝑥 − 10 ≤ −3
5. Jika 2𝑥 + 6𝑦 = 10 maka3𝑥 − 9𝑦 = −11
Implikasi
𝑝 => 𝑞
Konvers
𝑞 => 𝑝
Invers
~𝑝 => ~𝑞
Kontraposisi
~𝑞 => ~𝑝

L. Penarikan kesimpulan(Argumentasi)
Salahsatu penerapanlogikamatematikaadalahpadapenarikankesimpulanatauargumentasi berdasarkan
beberapapremisyaitupernyataan yang diketahuibernilaibenar.Denganmenggunakanprinsip-prinsiplogikadapat
ditemukankesimpulandaripremis-premisyangdiajukan.Penarikankesimpulanyangbernilaibenardinyatakan
berlaku/ sah/ valid , yaitu jika semuapremisnyabenarmakakesimpulannyajugabenar.
Ada beberapaprinsiplogikayaitu;
1. ModusPonens
Modusponenadalahsuatu argumentasiyangbentuknya dapat dinyatakanseperti di bawahini:
Premis1: P  q
Premis2: P
-------------------------
Konklusi: q
sah tidaknya suatu argumentasi,dapatdikajimenggunakantabel kebenaransebagaiberikut
p q p  q (P  q)  p [(P  q)  p]  q
B B B B B
B S S S B
S B B S B
S S B S B
Argumentasi dikatakan sah/valid jikamemenuhi syaratTautologi yaknisemuanilaikebenaranyabernilai benar(B)
Daritabel dapatkita lihat bahwapadakolom 5 bernilaibenaruntuksetiapnilaikebenaranpremisnya.
Contohpenarikankesimpulanmodusponens:
Premis1 : Jikahari inihujan makasayatidakjadi pergi kesungai
Premis2: Hariinihujan
Konklusi: Sayatidakjadi pergikesungai
2. ModusTollens
ModusTollensadalahsuatuargumentasiyangbentuknya dapatdinyatakan sebagaiberikut:
Premis1: p  q
Premis2:  q
-------------------------
Konklusi:  p
Denganmenggunakan carayangsamapenarikankesimulanmodelModusTollensdapatdibuktikanmerupakan
tautologi
[(p  q)   q ]   p merukakan Tautologi
Contoh penarikan kesimpulan model modusTollens
Premis1 : Jikahari ini hujan makasayatidak jadi pergike sungai
Premis2: Saya jadipergikesungai
Konklusi: hari ini tidakhujan
3. Silogisme
Silogismejugadisebutsifattransitif dari implikasi,adalahsuatuargumentasiyangbentuknya dapat
dinyatakan sebagaiberikut:

Premis1: p  q
Premis2: q  r
-------------------------
Konklusi: p  r
Contoh penarikan kesimpulan model modusTollens
Premis1 : Jikaika ibu tidak pergi maka adik senang
Premis2: Jika adik senang maka ia tersenyum
Konklusi: Jikaibu tidakpergi makaadiktersenyum
Latihan 4
Tuliskankonklusidaripremis-premisberikut:
1. P1: Jika Andi malas belajar, maka nilainya jelek
P2: Andi malas belajar
K: ……………….
2. P1: Jika semua orang jujur, maka negara makmur
P2: Jika semua negara makmur, maka rakyat senang
K: ………………..
3. P1: Jika hari panas, maka Ani memakai topi.
P2: Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung
P3: Ani tidak memakai payung
K: ………………
4. P1: Jika Badu rajin bekerja, maka ia disayang ibu
P2: Jika Badu disayang ibu, maka ia disayang nenek
P3: Badu tidak disayang nenek
K : ……………….
5. Premis 1: 𝒑 => 𝒒
Premis 2: 𝒒 => 𝒓
Premis 3: 𝒓 => 𝒔
Konklusi: ......

…..Selamat BELAJAR dan Semoga SUKSES…..

Matematika

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Matematika

Similar to Matematika (20)

More from Abdullah Banjary

More from Abdullah Banjary (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Matematika