1. PROGRAM LINEAR
(METODE SIMPLEKS)
Oleh :
ANDRIYA SWARSIH
10536 4183 11
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MAKASSAR
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
2013
2. PROGRAM LINEAR DENGAN METODE SIMPLEX
1) Fungsi Tujuan : z = 8x + 3y
Fungsi Pembatas : 50x + 100y ≤ 1.200.000
50x ≥ 3.000
5x + 4y ≥ 60.000
Bentuk baku diperoleh dengan menambahkan variabel slack pada kendala
pertama, mengurangkan variabel surplus pada kendala kedua. Sehingga
diperoleh :
Minimumkan : Z = 8x + 3y + 0S1 + 0S2 + 0S3 +MA1 + MA2
50x + 100y + S1 = 1.200.000
50x - S2 + A1 = 3.000
5x + 4y – S3 + A2 = 60.000
Table Simpleks Awal
Basis
X1
X2
S1 S2 S3 A1 A2
NK
Rasio
Z
55M- 4M- 0
8
3
- - 0
M M
0
63.000M
S1
50
100
1
0
0
0
0
1.200.000 1.200.000:50=24.000
A1
50
0
0
-1 0
1
0
3.000
3.000:50 = 60
A2
5
4
0
0
-1 0
1
60.000
60.000 : 5 = 12.000
S2
S3
Iterasi Pertama
Basis X1
S1
A1
4M- 0
0,1M- 0
-
3
Z
0
X2
0,16
A2
NK
0
Rasio
59.700M+480
1,1M+0,16
S1
0
100
1
1
0
-1
0
1.197.000
X1
1
0
0
-0,02
0
0,02
0
60
A2
0
4
0
0,1
-1 -0,1
1
5700
11.970
1.425
3. Iterasi Kedua
Basis
X1
X2
S1
S2
S3
A1
A2
NK
Z
0
0
0
0,085
M0,75
M+0,085
M+0,75
54.000M+4755
S1
0
0
1
-1,5
25
1,5
-25
1.054.500
X1
1
0
0
-0.02
0
0.02
0
60
0
1
0
0,025
-0,025
0,25
1425
0,25
Iterasi kedua adalah optimal karena koefisien pada persamaan Z
semuanya nonpositif, dengan X1= 60, X2 = 1425 dan Z = 54.000M+4755
X2
2) PT Yummy food memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi dua jenis
produk yaitu vanilla dan violette. Untuk memproduksi kedua produk
tersebut diperlukan bahan baku A, bahan baku B dan jam tenaga kerja.
Maksimum pengerjaan bahan baku A adalah 60kg per hari, bahan baku B
30kg per hari dan tenaga kerja 40jam per hari. Kedua jenis produk
memberikan sumbangan keuntungan sebesar Rp40,00 untuk vanilla dan
Rp30,00 untuk violette. Masalah yang dihadapi adalah bagaimana
menentukan jumlah unit setiap produk yang akan diproduksi setiap hari.
Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat
diliha pada tabel berikut ini:
Jenis bahan baku dan
Kg bahan baku dan jam tenaga
Maksimum
tenaga kerja
kerja
Penyediaan
Vanilla
Violette
Bahan baku A
2
3
60Kg
Bahan baku B
-
2
30Kg
Tenaga Kerja
2
1
40jam
Rp40,00
Rp30,00
Sumbangan
keuntungan
Penyelesaian:
Z = Rupiah keuntungan per hari
X1 = Jumlah vanilla yang diproduksi/perhari
X2 = jumlah violette yang diproduksi/hari
4. Langkah 1
Formulasi LP (bentuk standar)
Fungsi tujuan
Zmax = 40X1 + 30X2
Fungsi kendala
I. 2X1 + 3X2 ≤ 60
II. 2X2 ≤ 30
III. 2X1 + 1X2 ≤ 40
IV. X1,X2 ≥ 0
Diubah menjadi:
2X1 + 3X2 + S1 + 0S2 + 0S3 = 60
2X2 + 0S1 + S2 + 0S3 = 30
2X1 + 1X2 + 0S1 + 0S2 + S3 = 40
40X1 + 30X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3
C1 = 40, C2 = 30, C3 = 0, C4= 0, C5 = 0
Langkah 2
Tabel simplex awal masalah PT Yummy Food
Cj
40
30
0
0
0
Ci
BV
X1
X2
S1
S2
S3
Bi
0
S1
2
3
1
0
0
60
0
S2
0
2
0
1
0
30
0
S3
2
1
0
0
1
40
Zj
0
0
0
0
0
0
40
30
0
0
0
Cj-ZJ
Langkah 3
Apakah tabel tersebut sudah optimal?
Belum, karena tabel optimal bila nilai yang terdapat pada baris Cj – Zj ≤ 0
5. Langkah 4
Penyelesaian dengan cara iterasi
1. Menentukan kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai Cj-Zj
terbesar yaitu kolom x1. Dengan demikian x1 akan masuk dalam basis
2. Menentukan baris kunci, yaitu baris yang memiliki angka indeks
terkecil dan bukan negatif. Dalam hal ini baris s3. Dengan demikian
s3 akan keluar dari basis dan tempatnya akan digantikan oleh x1
3. Menetukan angka kunci. Angka kunci adalah angka yang terdapat
pada persilangan kolom kunci dengan baris kunci, dalam hal ini angka
kunci = 2
4. Mencari angka baru yang terdapat pada baris kunci, dengan cara
membagi semua angka yang terdapat pada baris kunci dengan angka
kunci
Angka baru = 40/2, 2/2, ½, 0/2, 0/2, ½
Atau = 20, 1, ½, 0,0 ½
5. Mencari angka baru pada baris lain, yaitu :
Baris S1
Angka lama
= [ 60 2 3 1 0 0 ]
Angka baru
= [ 20 1 ½ 0 0 ½] (2)
_
Angka baru
= [20 0 2 0 0 -1]
Baris S2
Angka lama
= [ 30 0 2 0 1 0]
Angka baru
= [ 20 1 ½ 0 0 1/2] (0)
_
Angka baru
= [ 30 0 2 0 1 0]
Hasil perhitungan di atas, akan nampak pada tabel baru simplex yaitu
tabel yang merupakan hasil iterasi pertama.
6. Cj
40
30
0
0
0
Ci
BV
X1
X2
S1
S2
S3
Bi
0
S1
0
2
1
0
-1
20
0
S2
0
2
0
1
0
30
40
X1
1
½
0
0
½
20
Zj
40
20
0
0
20
0
10
0
0
0
Cj-ZJ
Tabel iterasi 1 belum optimal sehingga harus diulang langkah di atas dan
akan di dapat tabel iterasi 2:
Cj
40
30
0
0
0
Ci
BV
X1
X2
S1
S2
S3
Bi
30
X1
0
1
½
0
-1/2
10
0
S2
0
0
-1
1
1
10
40
S3
1
0
-1/4
0
¾
15
Zj
40
30
5
0
15
0
0
-5
0
-15
Cj-ZJ
900
Solusi optimum tabel iterasi 2 menunjukan bahwa total nilai Z = 900
dengan masing-masing variabel keputusan X1 = 15 dan X2 = 10.
Variabel basis
Koefisien fungsi
Nilai variabel
tujuan
basis
X2
30
10
300
S2
0
10
0
X1
40
15
600
JUMLAH
900
7. KESIMPULAN:
1. Pada tabel iterasi 2 merupakan tabel akhir simplex, dengan solusi optimal
adalah :
X1 (vanilla)
= 15 unit
X2 (violette)
= 10 unit
Z (keuntungan)
= Rp 900,00
2. Kendala kedua (bahan baku B) masih tersisa sebanyak 10 Kg yang
ditunjukan oleh nilai S2 =10, pada tabel optimal
3. Kendala 1 dan 3 tidak ada sisa (full capacity), yang ditunjukan oleh nilai
S1 = S3 = 0 ( variabel nonbasis). Hal ini juga dapat dibuktikan dengan
memasukan nilai S1 dan S2 ke dalam kendala 1 dan 3
Kendala 1 :
2X1 + 3X2 = 60
2 (15) + 3 (10) =60
60 = 60
Bahan baku yang digunakan = yang tersedia
Kendala 3 :
2X1 + 1X2 = 40
2 (15) + 1(10) =40
40 = 40
Jam kerja yang digunakan = yang tersedia
8. 3) Gunakan metode simpleks untuk memaksimumkan
= 8000 X1 + 7000 X2
Dengan kendala :
2 X1
3X 2
2 X1
X2
24
16
X1
4X2
27
X1
0 dan X 2
0
Penyelesaian :
1.
-
Fungsi tujuan dalam bentuk implisit :
+ 8000 X1 + 7000 X2 = 0≤
2.
Karena masalah maksimisasi, maka kendala harus ditambah variabel slack
2 X1 3 X 2
2 X1
S1
24
X2
S2
16
X1 4 X 2
S3
27
3. Tabel Simpleks I (awal)
Variabel
Dasar
X1
X2
S1
S2
S3
Nilai kanan
(konstanta)
8000
7000
0
0
0
0
Baris 1 =
-1
Baris 2 = S1
0
2
3
1
0
0
24
Baris 3 = S2
0
2
1
0
1
0
16
Baris 4 = S3
0
1
4
0
0
0
27
Kolom kunci adalah kolom X1
Baris kunci adalah baris 3
Langkah-langkah Membentuk Tabel Simpleks II
1. Kolom kunci adalah kolom yang berada pada angka positif terbesar dalam
baris pertama, yaitu kolom X1.
2. Baris kunci adalah :
9. Baris 2 =
Nilai kanan ( NK )
Angka kolom kunci ( AKK )
24
2
Baris 3 =
Nilai kanan
Angka kolom kunci
16
2
8
Baris 4 =
Nilai kolom
Angka kolom kunci
27
1
27
12
positif terkecil
Baris kunci adalah baris 3
3. Baris kunci baru (baris 3 baru) :
Baris kunci lama :
X1
X2
S2
S3
NK
1
02
S1
0
1
0
16
Baris kunci baru = Baris lama dibagi angka kunci
01
½
0
½
0
8
4. Baris lain yang baru
Baris (1) Baru = Baris (1) lama – (Baris kunci baru x 8000)
Baris (2) Baru = Baris (2) lama – (Baris kunci baru x 2)
Baris (4) Baru = Baris (4) lama – (Baris kunci baru x 1)
5. Tabel Simpleks II
Variabel
Dasar
X1
X2
S1
S2
S3
Nilai
Kanan
Baris (1) =
-1
0
3000
0
-4000
0
-64.000
Baris (2) = S1
0
0
2
1
-1
0
8
Baris (3) = X1
0
1
½
0
½
0
8
Baris (4) = S3
0
0
3,5
0
-½
0
19
Langkah Membentuk Tabel Simpleks III
Kolom kunci = Kolom X2
Baris kunci =
Baris 2 =
NK
AKK
8
2
4
positif terkecil
10. Baris 3 =
NK
AKK
8
1/ 2
16
Baris 4 =
NK
AKK
19
3,5
5,43
Baris kunci adalah baris 2
Baris kunci baru (baris 2 baru) =
X1
0
X2
S1
S2
S3
NK
0
1
½
-½
0
4
Baris lain yang baru =
Baris (1) Baru = Baris (1) lama – (Baris kunci baru x 3000)
Baris (3) Baru = Baris (3) lama – (Baris kunci baru x ½)
Baris (4) Baru = Baris 94) lama – (Baris kunci baru x 3,5)
Tabel Simpleks III
Variabel
Dasar
Baris (1) =
0
Nilai
Kanan
-76.000
-½
0
4
-1/4
¾
0
6
-7/4
5/4
1
5
X1
X2
S1
-1
0
0
Baris (2) = X2
0
0
1
½
Baris (3) = X1
0
1
0
Baris (4) = S4
0
0
0
S2
-1500 -2500
S3
Karena pada baris (1) tidak ada lagi yang bernilai positif, penyelesaian optimal
selesai.
X1 = 6 ; X2 = 4 ; -
= -76.000
*= 76.000.
4) Minimumkan: Z = 2X1 + 10X2
Kendala
: 2X1 + X2 ≤ 6
5X1 + 4X2 ≥ 20
X1 ≥ 0 dan X2 ≥ 0
Tentukan X1, X2 yang meminimum Z=…?
Penyelesaian:
11. Tahap 1: Memasukkan Variable Slack dan Variable Buatan
Fungsi Tujuan : Z = 2X1 + 10X2 + M.A1
Kendala :
2X1 + X2 + S1
= 6
5X1 + 4X2 - S2 + A1 = 20
Keterangan:
S1 dan S2: variabel Slack
A1 : Variabel Buatan (variabel artifisial).
Tahap 2: Langkah Membentuk Tbl Simpleks I:
Membentuk fungsi tujuan untuk siap dimasukkan ke Tabel Simpleks I:
-
Minimumkan:
Z + 2X1 + 10X2 + M.A1 = 0
Karena nilai M pada fungsi tujuan harus nol, maka fungsi tujuan semula
harus diubah menjadi funsi tujuan yang disesuaikan.
Fungsi
X1
X2
Tujuan
Fungsi
2
10
Tujuan
Kendala (2) 5M
4M
xM
Fungsi
(2-5M) (10-4M)
Tujuan
Baru
S1
S2
A1
0
0
M
0M
-1M
1M
0
+M
NK
0
0
20M
-20M
Tabel Simpleks I:
Variabel
dasar
F.Tujuan
(Cj-Zj)
S1
S2
X1
(2-5M)
2
5
X2
S1
S2
A1
NK
(10-4M)
0
+M
0
-20M
1
0
0
-1
0
1
6
20
1
4
Tahap 3: Langkah Membentuk Tabel Simpleks II.
(1). Kolom Kunci : Kolom X1 karena memiliki nilai negatif terbesar pada baris
Cj-Zj.
(2). Baris Kunci (NK/ AKK):
Baris 2 (Baris S1): NK/AKK = 6/2 = 3....(BK)
Baris 3 (Baris S2): NK/AKK = 20/5 = 4.
12. (3). Baris Kunci Baru (Baris 2) Baru:
BKB = (BKL/AK)
Baris Kunci
X1
X2
S1
BKB=
2/2
½
½
BKL/AK
BKB
1
½
½
S2
0/2
A
0/2
NK
6/2
0
0
3
(4). Baris Lain yang Baru:
a. Baris 1 (Baris Cj-Zj) baru
= Baris Lama – (AKK.BKB)
Baris 1
X1
X2
S1
S2
A1
(Cj-Zj)
Baris 1 (2-5M)
(10-4M)
0
M
0
Lama
BKB
1
½
½
0
0
(2-5M)(1) (2-5M)(1/2) (2-5M)(1/2) (2-5M)(0) (2-5M)(0)
AKKx
BKB
(2-5M)
(1-5/2M)
(1-5/2M)
0
0
Baris 1
0
(9-3/2M)
(-1+5/2M)
M
0
Baru
b. Baris 3 (Baris S2) Baru:
Baris 3
X1
X2
S1
Baris
3 5
4
0
Lama
BKB
1
½
½
BKBx
5(1) 5(1/2) 5(1/2)
AKK
5
2,5
2,5
Baris
3 0
3/2
-2,5
Baru
Tabel Simpleks II
Variabel Dasar
X1
Baris 1
0
Cj-Zj
Baris
S1.... 1
Baris (X1)
Baris S2
0
S2
-1
A1
1
0
5(0)
0
1
3
(2-5M).(3)
(6-15M)
(-6-5M)
3
5(3)
0
-1
-20M
NK
20
0
5(0)
NK
X2
S1
(9-3/2M) (-1+5/2M)
15
5
S2
M
A1
0
NK
(-6-5M)
½
½
0
0
3
3/2
-5/2
-1
1
5
Tahap IV: Langkah Membentuk Tabel Simpleks III
Dengan cara yang sama dapat ditentukan:
13. (1). Kolom Kunci: Kolom X2 (Negatif terbesar)
(2). Baris Kunci: Baris 3 (Baris S2);
(3). Baris Kunci Baru;
(4). Baris Lain yang baru.
Tabel Simpleks III
Variabel Dasar
X1
Baris 1
1
Cj-Zj
Baris S1...(X1)
1
Baris S2...(X2)
0
X2
0
S1
14
S2
6
0
1
4/3
-5/3
1/3
-2/3
A1
(-6+M)
-1/3
2/3
NK
-36
4/3
10/3.
Karena : Baris 1 (Cj-Zj) sudah positif semua dan telah terbentuk matrik Identity
untuk kolom 1 dan kolom 2, maka Tabel Simpleks selesai;
Nilai Optimum:
-Zj = -36...... Zj = 36, X1 = 4/3, X2 = 10/3.
5) Minimumkan : C = 6X1 + 24X2
Kendala: X1 + 2X2 ≥ 3
X1 + 4X2 ≥ 4
Dan X1, X2 ≥ 0
Penyelesaian:
Langkah membentuk Tabel Simpleks I:
1.
Penyesuaian Fungsi tujuan dan Kendala:
Minimisasi: C = 6X1 + 24X2 +M.A1+ M.A2
Kendala : X1 + 2X2 –S1 + A1 = 3
X1 + 4X2 – S2+ A2 = 4
Keterangan: S1, S2 : Variabel Slack
A1,A2 : Variabel Buatan
2. Penyesuaian Fungsi tujuan agar siap masuk pada Tabel Simpleks I, karena
nilai M akan dianggap Nol.
a. Fungsi Tujuan dalam bentuk Implisit
- C + 6X1 + 24X2 + MX1 + MX2 = 0
14. b. Penyesuain Fungsi Tujuan :
Fungsi
X1
X2
S1
Tujuan
Cj-Zj
6
24
0
Kendala (1) 1M
2M
-M
xM
Cj-Zj
(6-M) (24-2M) M
Kendala (2) 1M
4M
0
xM
Cj-Zj
(6-2M) (24-6M) M
A1
S2
A2
NK.....?
M
M
0
0
M
0
0
3M
0
0
0
-M
M
M
-3M
4M
0
M
0
-7M (nilai
M =0)
A1
S2
A2
NK
0
1
0
M
0
-1
0
0
1
0
3
4
c.Tabel Simpleks I
Variabel
Dasar
Cj-Zj
A1
A2
X1
X2
S1
(6-2M) (24-6M) M
1
2
-1
1
4
0
Langkah Membentuk Tabel Simpleks II:
1.
2.
Kolom Kunci: Kolom X2 (Negatif terbesar)
Baris Kunci:
Baris 2 =NK/AKK = 3/2 = 1,5
Baris 3 : NK/AKK = 4/4 = 1 ...Baris Kunci
3.
Baris Kunci Baru (BKB = BL/AK);
4.
Baris lain (Baris 1 dan Baris 2) yang baru;
5. Tabel Simpleks II:
Variabel
Dasar
Cj-Zj
A1
A2...X2
X1
X2
S1
A1
(-1/2M) 0
½
0
¼
1
M
-1
0
0
1
0
S2
A2
(6-1/2M) (-6+3/2M)
½
-1/2
-1/4
1/4
Langkah Membentuk Tabel Simpleks III:
Kolom Kunci: Kolom X1(Negatif terkecil)
Baris Kunci:
Baris 2= NK/AKK = 1/(1/2)=2..Baris Kunci
Baris 3 : NK/AKK = 1/(1/4) = 4.
NK
(-24+6M)
1
1
15. Baris Kunci Baru (BKB = BL/AK);
Baris lain (Baris 1 dan Baris 3) yang baru.
Tabel Simpleks III:
Variabel
Dasar
Cj-Zj
A1...X1
X2
X1
X2
S1
A1
S2
0
1
0
0
0
1
0
-2
½
M
2
-1/2
6
1
-2/4
A2
(-6+M)
-1
2/4
NK.....?
(-24+7M)
2
1/2
Titik Optimal:
X1 = 2 ; X2 = ½; -Zj = -24+7M....Zj=C= 24.
6) Maksimumkan Z
3X 1
X1
X2
2X1
dengan syarat :
2X 2
15
28
2X 2
X1
X2
20
X1, X 2
0
Bentuk baku masalah LP tersebut adalah :
Z 3 X 1 2 X 2 0 S1 0 S 2 0 S 3
X1 X 2
2X1 X 2
X1 2X 2
S1
0
15
S2
28
S3
20
Berdasarkan bentuk baku diatas, tentukan solusi awal (initial basic solution)
dengan menetapkan n-m variable non basis sama dengan nol. Dimana n jumlah
variabel dan m banyaknya kendala. Yaitu, n sebanyak 2 buah dan m sebanyak 3
kendala. Solusi dengan menggunakan tabel simpleks adalah sbb :
17. Pada kasus ini kita akan menggunakan metode simplex M (BIG – M), hal ini
dikarenakan pada kasus ini pertidk samaan pembatasnya menggunakan ≥ (lebih
dari sama dengan).
Persamaan Tujuan : Z - 6x1 - 7,5X2 - 0S1 - 0S2 - 0S3 = 0 Baris 0
Persamaan Kendala : 7x1 + 3x2 - S1 +A1 = 210 Baris 1
6x1 + 12x2 - S2 +A2 = 180 Baris 2
4x2 - S3 + A3 = 120 Baris 3
Bagi kendala pertidaksamaan jenis ≤, maka variabel slack ditambahkan untuk
menghabiskan sumber daya yang digunakan dalam kendala. Cara ini tidak dapat
diterapkan pada kendala pertidaksamaan jenis ≥ dan kendala persamaan (=)
persamaan diatas diperoleh karena tanda ≥ harus mengurangi variable surplus.
Untuk mengarahkan artifisial variabel menjadi nol, suatu biaya yang besar
ditempatkan pada A1, A2, dan A3 sehingga fungsi tujuannya menjadi :
Z = 6x1 + 7,5X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + MA1 + MA2 + MA3
Table simplex awal dibentuk dengan A1, A2, dan A3 sebagai variable basis,
seperti table berikut :
Basis
X1
X2
Z
13M-
19M-
6
7,5
7
3
A1
S1 S2
S3
A1 A2 A3
-
-M
0
0
0
510M
0
1
0
0
210
-
NK
RASIO
M M
-1
0
210 : 3 =
70
A2
6
12
0
-1
0
0
1
0
180
180 : 12
= 15
A3
0
4
0
0
-1
0
0
1
120
120 : 4 =
30
Dari table diatas kita ketahui bahwa semua BFS belum optimal. Hal ini
dikarenakan seluruh NBV masih mempunyai koefisien yang berharga positif.
Oleh karena itu Untuk x2 terpilih sebagai entry variable karena x2 memiliki nilai
koefisien positif yang paling besar, dan A3 menjadi Leaving Variable. Dan yang
akan menjadi pivot adalah baris 2 karena memiliki rasio paling kecil.
Langkah-langkah ERO Iterasi Pertama :
ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 1 pada baris 2
½ x1 + x2 - 1/12 S2 +1/12 A2 = 15
18. ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 0
Z = 9/4 x1 + 0S1 + 15/24 S2 + 0S3 + MA1 + [ M - 15/24]A2 + MA3 + 112,5
ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 1
11
/2 x1 + ¼ S2 + A1 - 1/4 A2= 165
ERO 4 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 3
-2x1 + 1/3 S2 - S3 - 1/3 A2 + A3 = 60
Konversi bentuk standard iterasi Pertama :
Z = 9/4 x1 + 0S1 + 15/24 S2 + 0S3 + MA1 + [ M - 15/24]A2 + MA3 + 112,5
11
/2 x1 + ¼ S2 + A1 - 1/4 A2 = 165
-2x1 + 1/3 S2 - S3 - 1/3 A2 + A3 = 60
½ x1 + x2 - 1/12 S2 +1/12 A2 = 15
Tabel Iterasi Pertama
Basis
X1
Z
-
X2 S1
0
0
13
/2M-
S2
7
/12 15
/24
S3
-M
A1
0
A2
1
A3
NK
RASIO
/24 -
0
225M –
*
M
112,5
6
A1
11
/2
0
0
1
/4
0
1
-1/4
0
165
165 : 5,5
= 30
A3
X2
-2
½
0
1
0
1
0
-1
/3
/12
-1
0
0
-1
0
1
/3
1
60
*
/12
0
15
15 : 0,5
= 30
Pada fungsi tujuan masih terdapat variable dengan nilai koefisien positif, oleh
karena itu lakukan iterasi kedua.
Langkah-langkah ERO Iterasi Kedua:
ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 1 pada baris 1
x1 + 1/22 S2 + 2/11A1 - 1/22 A2 = 30
ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 0 pada baris 0
Z = 0S1 + 0,725 S2 + 0S3 + MA1 -0,4A1 + [ M – 0,725]A2 + MA3 + 180
ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 0 pada baris 2
0.5 A2 = 0
ERO 4 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 0 pada baris 3
0,39 S2 - S3 +0,36A1 + 0,21 A2 + A3 = 120
Konversi bentuk standard iterasi kedua :
Z = 0S1 + 0,725 S2 + 0S3 + [M -0,4]A1 + [ M – 0,725]A2 + MA3 + 180
x1 + 1/22 S2 + 2/11A1 - 1/22 A2 = 30
19. 0.5 A2 = 0
0,39 S2 - S3 + 0,36A1 + 0,21 A2 + A3 = 120
Tabel Iterasi Kedua
Basis X1 X2 S1
Z
0
0
S2
S3
A1
-
0
-
0
0,725
x1
1
0
0
A3
0
0
X2
0
0
1
M+0,4
2
A2
1
A3 NK
M
/2M+0,725
180
/11
1
- /22
0
30
/22
0
0
0
0
0
½
0
0
0
0,39
-1
0,36
0,21
1
120
Iterasi kedua adalah optimum karena koefisien pada persamaan
Z
semuanya non positif, dengan x1 = 30, x2 = 120 dan z=-180.
8) PT Unilever bermaksud membuat 2 jenis sabun, yakni sabun bubuk dan
sabun batang. Untuk itu dibutuhkan 2 macam zat kimia, yakni A dan B.
jumlah zat kimia yang tersedia adalah A=200Kg dan B=360Kg. Untuk
membuat 1Kg sabun bubuk diperlukan 2 Kg A dan 6 Kg B. untuk membuat
1 Kg sabun batang diperlukan 5 Kg A dan 3 Kg B. bila keuntungan yang
akan diperoleh setiap membuat 1Kg sabun bubuk = $3 sedangkan setiap 1
Kg sabun batang = $2, berapa Kg jumah sabun bubuk dan sabun batang
yang sebaiknya dibuat ?
JAWABAN
Pemodelan matematika :
Maksimumkan : Z = 3x1 + 2x2
Pembatas : 2x1 + 5x2 = 200
6x1 + 3x2 = 360
Persamaan Tujuan : Z - 3x1 - 2x2 = 0 Baris 0
Persamaan Kendala : 2x1 + 5x2 + A1 = 200 Baris 1
6x1 + 3x2 + A2 = 360 Baris 2
Untuk mengarahkan artifisial variabel menjadi nol, suatu biaya yang besar
ditempatkan pada A1, A2, dan A3 sehingga fungsi tujuannya menjadi :
20. Z = 3x1 - 2X2 + MA1 + MA2
Basis
x1
x2
A1
A2
NK
Rasio
Z
8M-3
8M+2 0
0
560M
A1
2
5
1
0
200
200:5=40
A2
6
3
0
1
360
360:3=120
Dari table diatas kita ketahui bahwa semua BFS belum optimal. Hal ini
dikarenakan belum seluruhnya NBV mempunyai koefisien yang berharga
positif. Oleh karena itu Untuk x2terpilih sebagai entry variable karena
x2 memiliki nilai koefisien negatif, dan A1 menjadi Leaving Variable. Dan
yang akan menjadi pivot adalah baris 1 karena memiliki rasio paling kecil.
Langkah-langkah ERO Iterasi Pertama :
ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 1 pada baris 1
0,4x1 + x2 + 0,2A1 = 40
ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 0
Z = 3,8x1 + [M-0,4]A1 + MA2 - 80
ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 2
4,8x1 – 0,6A1 + A2 = 240
Konversi bentuk standard iterasi pertama :
Z = 3,8x1 + [M-0,4]A1 + MA2 - 80
0,4x1 + x2 + 0,2A1 = 40
4,8x1 – 0,6A1 + A2 = 240
Basis
Z
x1
4,8M-
x2
0
3,8
A1
0,4-
A2
NK
0
Rasio
240M+80
0,4M
X2
0,4
1
0,2
0
40
A2
4,8
0
0,6
1
240
Iterasi pertama adalah optimum karena koefisien pada persamaan Z
semuanya positif, dengan x1 = 40, x2 = 240 dan z=240M+80.
21. 9) Memaksimalkan : Z
8x 6 y
4x 2 y
60
2x 4 y
Dengan pembatas
48
x1 , x 2
0
Selesaikan dengan metode simpleks.
Jawab:
(1) Mengubah ke dalam berntuk persamaan linier.
4 x 2 y s1
60
2x 4 y s2
48
(2) Nyatakan ke dalam bentuk matriks.
x
y
4 2 1 0
60
s1
s2
2 4 0 1
48
(3) Table simpleks.
Cj
I
8
0
0
x1
Ci
6
x2
s1
s2
bi
Ri
0
s1
4
2
1
0
60
15
0
s2
2
4
0
1
48
24
Zj
0
0
0
0
-8
-6
0
0
Zj
X
j ( j 1, 2 ,...)
Cj
Z
0
: macam variabel ( x1 , x2 , s1 , s 2 )
x1 , x 2
: variabel keputusan
s1 , s2
: variabel basis
C j( j
f
1, 2,...)
8 x1
: koefisien dari fungsi tujuan (8, 6, 0, 0) dari
6 x2
0s1
0s 2
Ci
: koefisien variabel basis dalam fungsi tujuan
Zj
:
Ci aik
Agar f maksimal maka Z j
C j harus non negatif.
22. Melanjutkan ke tabel ke-2:
– Kolom Kunci (KK) = Z j C j yang paling kecil
– Baris Kunci (BK) = R i yang paling kecil di mana Ri
bi
a ik
– Nomor Kunci = pertemuan antara KK & BK
Pada tabel berikutnya, nomor kunci harus = 1 dan elemen lain yang
satu kolom dengan nomor kunci harus = 0
Sehingga dari tabel I ke II:
1
dan B2
4
B1
1
B1
2
Cj
I
8
0
0
x1
Ci
6
x2
s1
s2
bi
Ri
8
x1
1
1/2
1/4
0
15
30
0
s2
0
3
-1/2
1
18
6
Zj
8
4
2
0
Z 120
0
-2
2
0
8
6
0
0
x1
x2
s1
s2
bi
Zj
Cj
Dari tabel II ke III:
1
dan B1
3
B2
1
B2
6
Cj
III
Ci
8
x1
1
0
1/3
-1/6
12
6
x2
0
1
-1/6
1/3
6
Zj
8
6
5/3
2/3
Z 132
0
0
5/3
2/3
Zj
Cj
Karena Z j
Cj
Untuk x1
12 ; x2
0 maka Z maks
6 ; s1 , s 2
0
132
Ri
23. 10) Memaksimalkan :
Z
40 x1
20 x 2
60 x3
2 x1
4 x 2 10 x3
24
5 x1
x2
5 x3
48
x1 , x 2 , x3
Dengan pembatas
0
Jawab:
(1) Mengubah ke dalam bentuk persamaan linier.
2 x1
4 x 2 10 x3
5 x1
x2
5 x3
t1
t1
v1
24
v1
8
(2) Nyatakan ke dalam bentuk matriks.
2 4 10
5 1 5
1
0
x1
x2
x3
0 1 0
t1
1 0 1
t2
v1
v2
Untuk meminimumkan Z
40 x1
24
8
20 x 2
60 x3
0t1
0t 2
Mv1
Mv 2
dengan M adalah bilangan positif yang besar.
(3) Tabel Simpleks
–
Simpleks minimum, optimal dapat dicapai jika
–
Pilih KK dari
Zj
–
Cj
Zj
Cj
(Z j
Cj)
0
yang paling besar diantara harga
0
Hitung Ri kemudian tentukan BK dari harga Ri yang paling kecil.
I
Cj
20
60
0
0
M
M
x1
Ci
40
x2
x3
t1
t2
v1
v2
bi
Ri
M
v1
2
4
10
-1
0
1
0
24
24/10
M
v2
5
1
5
0
-1
0
1
8
8/5
24. Zj
Zj
7M 6M 15M
Cj
7M40
6M20
15M60
- M M
- M M
M
M
0
0
Z
32M
Dari tabel I ke II:
B2
1
dan B1
5
Cj
I
2B2
20
60
0
0
x1
Ci
40
x2
x3
t1
t2
M
M
v1
v2
bi
Ri
M
v1
-8
2
0
-1
2
1
-2
8
4
60
x3
1
1/5
1
0
-1/5
0
1/5
8/5
8
Zj
-8M+60
2M+12
60
-M
2M-12
M
-2M+12
Zj – Cj
-8M-20
2M-8
0
-M
-M
0
-3M+12
Z
8M
96
Dari tabel II ke III:
B1
1
dan B2
2
I
Cj
1
B1
2
20
60
0
0
M
M
x1
Ci
40
x2
x3
t1
t2
v1
v2
bi
20
x2
-4
1/2
0
-1/2
1
1/2
-1
4
60
x3
9/5
0
1
1/10
-2/5
-1/10
2/5
4/5
Zj
28
20
60
-4
-4
4
4
Z=128
Zj – Cj
-12
0
0
-4
-4
4-M
4-M
Jadi Z min
128 , untuk x1
0 ; x2
4 ; x3
4
5
; t1 , t 2 , v1 , v 2
0
Ri
