Presentation Transcript

1. LOGIKA MATEMATIKA Oleh BUDIHARTI, S.Si.

2. Logika adalah ilmu yang mempelajari secara sistematis kaidah-kaidah penalaran yang absah/valid. • Ada dua macam penalaran, yaitu: penalaran deduktif dan penalaran induktif.

3. Penalaran deduktif • Penalaran deduktif adalah penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang diandaikan benar untuk menarik suatu kesimpulan dengan mengikuti pola penalaran tertentu. • Contoh: Premis 1 : Semua mahasiswa baru mengikuti OSPEK. Premis 2 : Wulandari adalah mahasiswa baru. Kesimpulan : Wulandari mengikuti OSPEK.

4. Penalaran induktif • Penalaraninduktifadalahpenalaran yang didasarkanpadapremis-premis yang bersifatfaktualuntukmenarikkesimpulan yang berlakuumum. • Contoh: Premis 1 : Ayam-1 berkembangbiakdengantelur. Premis 2 : Ayam-2 berkembangbiakdengantelur. Premis 3 : Ayam-3 berkembangbiakdengantelur. Premis 4 : Ayam-4 berkembangbiakdengantelur. : : : Premis 50 : Ayam-50 berkembangbiakdengantelur. Kesimpulan : Semuaayamberkembangbiakdengantelur.

5. Logika Matematika • LogikaMatematika/LogikaSimbolialahLogika yang menggunakanbahasaMatematika, yaitudenganmenggunakanlambang-lambangatausimbol- simbol. • Keuntungan/ kekuatanbahasasimboladalah: ringkas, univalent/bermaknatunggal, dan universal/dapatdipakaidimana-mana. • Logikamempelajaricarapenalaranmanusia, sedangkanpenalaranseseorangdiungkapkandalambahasaberupakalimat-kalimat. Dengandemikianlogikamempelajarikalimat-kalimat yang mengungkapkanataumerumuskanpenalaranmanusia.

6. PERNYATAAN • Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah). Pernyataan yang tidak mengandung kata hubung kalimat disebut pernyataan primer/pernyataan tunggal/pernyataan atom, sedangkan pernyataan yang mengandung satu atau lebih kata hubung kalimat disebut pernyataan majemuk.

7. PERNYATAAN • Contoh: • Bangkok adalahibukota Thailand. • 9 adalahbilangangenap. • Badakitumemilikigading. • 3 lebihtuadaripada 5 • Setahunterdiridari 52 minggu. • 8 + 4 = 12 • Mengapakamumenangis? • 3 > 5 • Ambilkanakukueitu! • Semogakamulekassembuh! Selidikilahkalimat-kalimattersebut !

8. PERNYATAAN • Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B (benar), sedangkan pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran S (salah). • Catatan: Nilai kebenaran suatu pernyataan kadang-kadang ditulis dengan lambang angka 1 atau 0. Angka 1 ekuivalen dengan nilai kebenaran B, sedangkan angka 0 ekuivalen dengan nilai kebenaran S. Lambang nilai kebenaran 1 dan 0 biasanya digunakan untuk menganalisis suatu jaringan listrik

9. PERNYATAAN • Kebenaransuatupernyatandibedakanmenjadidua, yaitu: • Kebenaranfaktual, yaitukesesuaianantaraisiperyataandanfaktasesungguhnya. • Kebenaranlogis, yaitukesesuaiandenganaturan-aturanlogika. • Dalamilmupengetahuankitaselaluberbicaramengenaiobyek-obyek yang terbatas, tidakmengenaisegalasesuatu. Keseluruhanobyek-obyek (terbatas) yang menjadibahanpembicaraan yang sedangkitalakukandisebutsemestapembicaraanatausemestasajadandisingkat S.

10. PERNYATAAN • Untukmembicarakananggota-anggotadarisemestabiasanyadigunakanlambang. Adaduamacamlambang, yaitu: • Konstanta, adalahlambang yang digunakanuntukmenunjukataumembicarakananggotatertentudarisemesta. • Peubah, adalahlambang yang digunakanuntukmenunjukataumembicarakananggota yang tidaktertentu (sembarang) darisemesta. • Peubahbilangandandisajikandenganhuruf-hurufkecilx,y,z • Peubahpernyataandandisajikandenganhuruf-hurufkecilp,q,rdst.

11. Kalimat terbuka • Kalimatterbukaialahkalimat yang memuatpeubah, sehinggabelumdapatditentukannilaikebenarannya. • Kalimatsemacaminimasih “terbuka” untukmenjadipernyataan yang benaratau yang salah. • Contoh: a. x adalahbilanganbulat. b. x + 2 > 10 c. x2 -3x + 5 = 0 d. y = 2x + 1 • Kita dapatmengubahsuatukalimatterbukamenjadiperyataandenganmengganti (mensubstitusikan) semuapeubah yang termuatdidalamnyadengankonstantadarisemestanya. Pernyataan yang dihasilkanbisabernilaibenar, bisabernilaisalah.

12. Kalimat terbuka • Himpunanpenyelesaiandarisuatukalimatterbukaialahhimpunansemuaanggotadari S yang bilalambangnyadisubstitusikankedalampeubahdarikalimatterbukaituakanmenghasikanpernyataan yang benar. • Contoh: S = {Bil. Asli } a. x + 2 > 10 - H.P = {9,10,11,12,…..} b. x2 – x – 6 = 0 (x-3) (x + 2 = 0 -- HP ={3} c. x + 1 > 0 - HP = S d. (2x-1)(x + 3) = 0  HP = { } • Himpunanpenyelesaianharusmemuatsemuaelemendarisemesta yang menghasilkanpernyataanbenar.

13. INGKARAN • Ingkaran/Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang diperoleh dengan menambahkan kata ”tidak” atau menyisipkan kata ”bukan” pada pernyataan semula. • Ingkaran dari suatu pernyataan p disajikan dengan lambang atau –p atau ~p, dan dibaca: ”tidak p”. • Bila peryataan p bernilai benar, maka ingkarannya bernilai salah dan sebaliknya.

14. INGKARAN • Contoh : • Jikustik adalah sebuah kelompok band yang berasal dari Yogyakarta. (benar) Tidak benar bahwa Jikustik adalah sebuah kelompok band yang berasal dari Yogyakarta. ( salah) Jikustik bukan sebuah kelompok band yang berasal dari Yogyakarta. (salah) • Manusia mempunyai ekor (salah) Manusia tidak mempunyai ekor ( benar)

15. Pernyataan Majemuk • Pernyataan Majemuk ialah pernyataan yang terdiri dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan menggunakan kata hubung. • Dalam Logika Matematika terdapat empat macam kata hubung, yaitu: (1) …..dan….., (2) …..atau….., (3) bila ………,maka…… (4) ….. bila dan hanya bila …….

16. Pernyataan Majemuk • Contoh : a. Yogyakarta adalah kota pelajar dan (Yogyakarta) memiliki banyak objek wisata. b. Kurnia pergi ke kampus atau ia nonton film. c. Bila air dipanaskan, maka ia akan mendidih. d. Medan ibukota Sumatera Utara bila dan hanya bila Semarang ibukota Jawa Timur. • Pernyataan majemuk diatas berturut-turut disebut: konjungsi, disjungsi, implikasi, dan ekuivalensi/biimplikasi.

17. Pernyataan Majemuk • Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk ditentukan oleh: nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan tunggalnya dan kata hubung apa yang digunakan. • Karena masing-masing pernyataan tunggalnya bisa bernilai benar atau salah, maka ada empat kemungkinan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk.

18. Konjungsi • Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung ”dan” Kata hubung “dan” disajikan dengan lambang “”. • Definisi: Suatu konjungsi bernilai benar hanya bila ke dua pernyataan tunggalnya bernilai benar.

19. Konjungsi • Contoh : a. Indonesia adalah negara Republik dan berpenduduk 200 juta jiwa. b. Kerbau berkaki empat dan dapat terbang. c. 3 adalah bilangan genap dan habis di bagi lima.

20. Disjungsi • Disjungsiadalahpernyataanmajemuk yang menggunakankatahubung “atau” Katahubung “atau” disajikandenganlambang “”. • DalamLogikaMatematikajugadibedakanduamacam “atau“ Yang pertamadisebutDisjungsiInklusif (denganlambang ””) dan yang keduadisebutDisjungsiEksklusif (denganlambang ” ”). • Definisi: a. Suatudisjungsiinklusifbernilaibenarbilasekurang- kurangnyasalahsatupernyataantunggalnyabenar. b. Suatudisjungsieksklusifbernilaibenarbilasalahsatu (dantidakkedua-duanya) daripernyataantunggalnyabenar.

21. Disjungsi

22. Disjungsi • Contoh : a. Pak Hartono berlanggananharianKompasatauKedaulatan Rakyat. b. Anisapergikeperpustakaanataukekantin. c. 5 ≤ 6 (5 kurang dari atau sama dengan 6) d. A B adalah himpunan semua elemen yang menjadi anggota himpunan A atau himpunan B. e. Biladiketahuibahwax.y = 0, makadapatdisimpulkanbahwa x =0 atau y = 0. • Kalautidakdikatakanapa-apa, makadalamMatematikabiasanya yang dimaksudadalahdisjungsiinklusif.

23. Implikasi • Implikasi adalah peryataan majemuk yang menggunakan kata hubung ”bila …., maka ….” • Pernyataan tunggal yang pertama disebut anteseden dan yang kedua disebut konsekuen. • Kata hubung ”bila …., maka ….” disajikan dengan lambang ” ”

24. Implikasi • Dalam bahasa sehari-hari kita memakai implikasi dalam bermacam-macam arti, misalnya: • Untuk menyatakan suatu syarat: “Bila kamu tidak membeli karcis, maka kamu tidak akan diperbolehkan masuk”. • Untuk menyatakan suatu hubungan sebab akibat:” Bila kehujanan, maka Tono pasti sakit”. • Untuk menyatakan suatu tanda:”Bila bel berbunyi, maka mahasiswa masuk ke dalam ruang kuliah.

25. Implikasi • Definisi: Suatu implikasi bernilai benar bila antesedennya salah atau konsekuennya benar (jadi suatu Implikasi bernilai salah hanya apabila anteseden benar dan konsekuennya salah).

26. Contoh • BilaAninditaadalahseorangpria, makaiaakanmempunyai kumis. • Bilabumiberputardaritimurkebaratmakamatahariakanterbitdisebelahbarat. • Bilaberatjenisbesilebihdarisatu, makaiaakanterapungdalam air. • Bilaberatjenisbesilebihbesatdarisatu, makaiaakanterapungdalam air. • Bila 3 > 2, maka 6 > 4 • Bila 3 < 2, maka – 3 > – 2 • Bila x > 10, maka x > 5

27. Untukmengucapkan (menyatakan ) suatuimplikasisebagaisuatupernyataan yang benarada 3 cara . • Misalnya : mengucapkan “A B” dengancara: • “Bila A, maka B” • “B bila A” • “A hanyabila B” (karenabilatidak B atau B salah, makajugatidak A atau A salah; lihatbariskeempattabelkebenaranimplikasi ).

28. A B • B juga disebut syarat perlu untuk A. (Suatu syarat disebut syarat perlu bila tidak terpenuhinya (salahnya ) syarat tersebut mengakibatkan tidak terjadinya apa yang disyaratkan ). • A diatas disebut syarat cukup untuk B, karena bila A terjadi ( benar) maka B juga berjadi (benar). Lihat baris pertama tabel kebenaran implikasi. (Suatu syarat disebut syarat cukup bila terpenuhinya syarat tersebut mengakibatkan terjadinya apa yang disyaratkannya).

29. Implikasi • Contoh: • Bila x adalah bilangan genap, maka x habis dibagi 2. x habis dibagi 2 bila x adalah bilangan genap. x adalah bilangan genap hanya bila x habis di bagi 2. “x habis di bagi 2 “ merupakan syarat perlu agar “ x adalah bilangan bulat “ “x adalah bilangan bulat “ merupakan syarat cukup untuk “x habis di bagi 2 “

30. Implikasi • Tugas 1 • Carilahpengertiankonvers, inversdankontraposisidariimplikasi. • Berilahcontohkonvers,invers, dankontraposisi, (2 pernyataanimplikasi).

31. 3. Lengkapilah tabel berikut ini!Tentukan kolom mana yang memiliki nilai kebenaran yang sama!

32. Ekuivalensi ( Biimplikasi) • Peryataan majemuk yang menggunakan kata hubung “Bila dan hanya bila” disebut ekuivalensi atau biimplikasi. Kata hubung tersebut disajikan dengan lambanga “ ” • Definisi: Suatu ekuivalensi bernilai benar bila kedua pernyataan tunggalnya mempunyai nilai kebenaran yang sama.

33. Ekuivalensi ( Biimplikasi) • Contoh: Suatu segitiga disebut sama kaki bila dan bila segitiga itu mempunyai dua sisi yang sama panjang (maksudnya suatu ekuivalensi:”bila dan hanya bila”)

34. Tugas 2: lengkapi tabel berikut ini!Tentukan kolom mana yang memiliki nilai kebenaran yang sama!