110 likes | 544 Views
Sistem Persamaan Aljabar Linear. Persamaan Linear Persamaan berikut adalah bentuk persamaan linear: dimana: a 1 , a 2 ,…, a n , dan b adalah konstanta dan x 1 , x 2 ,…, x n adalah variabel yang tidak diketahui . System persamaan Aljabar Linear
E N D
Sistem Persamaan Aljabar Linear • Persamaan Linear Persamaan berikut adalah bentuk persamaan linear: dimana: a1,a2,…, an, dan b adalah konstanta dan x1,x2,…, xn adalah variabel yang tidak diketahui. • System persamaan Aljabar Linear System persamaan linear adalah himpunan beberapa persamaan linear dalam variabel x1,x2,…, xn . Barisan bilangan s1, s2,… snadalah solusi system persamaan linear apabila x1= s1 , x2= s2 … xn =sn memenuhi setiap persamaan linear dalam system.
S0262 Analisis Numerik • Sistem Persamaan Linear Note:Ada tiga kemungkin tentang solusi SPL yaitu mempunyai hanya 1 set solusi, tidak mempunyai solusi, atau mempunyai banyak solusi Contoh: Suatu system yg mempunyai banyak solusi diantaranya: x1=1, x2=2, and x3=-1 Suatu system yg mempunyai hanya 1 solusi yaitu: x1=2, and x2=1 Suatu system yg tidak mempunyai solusi
S0262 Analisis Numerik • Bentuk umum m persamaan dan n yang tidak diketahui • System persamaan Linear dlm Augmented Matrices
S0262 Analisis Numerik • Contoh 3 pers., 3 yg tdk diketahui Metode untuk menyelesaikan SPL adalah dgn mengubah system yg ada menjadi system yg lebih sederhana. Secara umum langkah2 nya diberikan di bawah ini. • Mengalikan satu atau lebih dari persamaan yg ada dengan suatu pengali • Mempertukarkan letak persamaan • Menambah suatu persamaan dengan persamaan yg lain Note: Langkah-langkah diatas akan berlaku juga terhadap Matriks AUGMENTED dari persamaan tersebut. Augmented matrix
S0262 Analisis Numerik Operasi Baris dlm mencari solusi SPL: 1. Kurangkan 2 kali baris 1 dari baris kedua dan 3 kali baris 1 dari baris ketiga 2. Kalikan baris kedua dengan 1/2., maka akan diperoleh
S0262 Analisis Numerik • Eliminasi Gauss(EG) • EG adalah prosedur yg sistimatis utk menyelesaikan SPL dengan cara menyederhanakan matriks augmented SPL tsb ke dalam bentuk yg lebih sederhana: Prosedur: Sederhanakan Matriks Augmentedbentuk row-echelon (Echelon baris). Bentuk Row-echelon : • Unsur (entri) yang bukan nol pertama pada setiap barisnya adalah angka 1 yang disebut dengan angka-1 pemimpin (leading 1) • Setiap baris yang mempunyai unsur seluruhnya angka-0 diletakkan dibaris bawah • Angka-1 pemimpin pada baris yang lebih bawah akan terletak kesebelah kanan angka-1 pemimpin pada baris diatasnya.
S0262 Analisis Numerik • Eliminasi Gauss-Jordan(EGJ) • Sebagaimana halnya pada eliminasi Gauss (EG), EGJ adalah juga prosedur yg sistimatis utk menyelesaikan SPL dengan cara menyederhanakan matriks augmented SPL. Prosedur: Sederhanakan Matriks Augmentedbentuk Echelon baris yang disederhanakan. • Bentuk Echelon baris yang disederhanakan. Matriks dalam bentuk echelon baris yang disederhanakan adalah matriks echelon baris dimana pada setiap kolom yang telah mengandung angka-1 pemimpin maka setiap entri lain dalam kolom yang sama hanya diisi oleh angka-0.
S0262 Analisis Numerik • Matriks Bentuk Echelon-baris Contoh: • Matriks Bentuk Echelon-baris yg disederhanakan Contoh:
S0262 Analisis Numerik • Langkah-langkah pada Eliminasi Gauss • Tuliskan sistim persamaan aljabar linear yang akan diselesaikan dalam bentuk matriks augmented • Jika diperlukan pertukarkan baris paling atas dari matriks tsb dengan baris yang lain sehingga angka-0 bukan merupakan angka pertama dalam baris paling atas tersebut • Jika entri pertama dalam baris-1 bukan angka-0 kalikan/bagikan semua entri pada baris tersebut dengan suatu bilangan tertentu untuk menghasilkan angka-1 pemimpin. • Lakukan operasi baris (penjumlahan/pengurangan) pada baris-baris dibawahnya untuk mendapatkan seluruh entri dibawah angka-1 pemimpin seluruhnya angka-0. • Lakukan langkah 2, 3, dan 4 sampai diperoleh suatu matriks dalam bentuk echelon-baris • Dari matriks yang diperoleh pada langkah-5 diatas lakukan subsitusi balik untuk mendapatkan harga variabel yang dicari
S0262 Analisis Numerik • Langkah-langkah pada Eliminasi Gauss-Jordan • Lakukan langkah-langkah 1, 2, 3, 4 dan 5 pada Eliminasi Gauss diatas • Biasanya dimulai dari baris yang paling bawah, lakukan operasi baris sedemikian sehingga seluruh entri diatas angka-1 pemimpin semuanya menjadi angka-0. • Ulangi langkah 2 diatas untuk baris-baris yang lebih atas sehingga menghasilkan matriks dalam bentuk echelon-baris yang disederhanakan.