Memahami Logika Matematika, Jenis-jenis dan Contoh Soal

Logika matematika adalah salah satu cabang ilmu matematika yang mempelajari pola pikir secara logis untuk bisa menarik kesimpulan berdasarkan kondisi-kondisi yang saat ini terjadi.

Banyak yang mengira bahwa logika bukanlah pelajaran Matematika karena memang jarang bermain dengan angka di dalamnya. Meski begitu, kamu pasti akan mempelajari logika matematika di bangku SMA.

Meski rumit, logika matematika sangat berguna dalam kehidupan sehari-hari, terutama dalam proses penarikan kesimpulan. Untuk kamu yang penasaran, ini dia pengertian, jenis, dan contoh soal logika matematika yang perlu kamu ketahui.

Apa itu Logika Matematika?

Dikutip dari bahan ajar Universitas Negeri Yogyakarta karya Nur Insani, logika adalah ilmu yang mempelajari secara sistematis kaidah-kaidah penalaran yang absah atau valid. Terdapat 2 jenis penalaran, yakni sebagai berikut.

1. Penalaran deduktif, yakni penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang diandaikan benar untuk menarik kesimpulan dengan pola tertentu.
2. Penalaran induktif, yakni penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang bersifat faktual untuk menarik kesimpulan yang berlaku umum.

Untuk itu, logika matematika adalah ilmu logika yang menggunakan bahasa matematika, yakni lambang-lambang atau simbol-simbol matematika. Keuntungan dari penggunaan simbol pada logika matematika adalah sebagai berikut.

• Lebih ringkas
• Univalent atau bermakna tunggal
• Universal atau dapat dipakai dimana-mana

Dengan demikian, logika matematika mempelajari cara penalaran manusia dalam bentuk kalimat-kalimat tertentu. Penalaran tersebut didasarkan pada premis-premis yang tersedia.

Jenis-jenis Logika Matematika

Terdapat beberapa jenis logika matematika yang perlu kamu ketahui. Simak penjelasannya berikut ini.

1. Proposisi

Dalam logika matematika, proposisi atau pernyataan adalah suatu kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah, tapi tidak keduanya. Nilai benar atau salah suatu proposisi disebut sebagai nilai kebenaran proposisi tersebut.

Nilai kebenaran sangat bergantung pada realitas atau fakta yang sebenarnya terjadi. Terdapat 2 jenis proposisi, yakni sebagai berikut.

• Proposisi sederhana, yakni proposisi yang tidak mengandung kata hubung.
• Proposisi majemuk, yakni proposisi yang terdiri atas satu atau lebih pernyataan sederhana dengan kata hubung.

Proposisi dengan nilai kebenaran benar biasa disebut sebagai B (benar). Sedangkan proposisi dengan nilai kebenaran salah bisa disebut sebagai S (salah).

2. Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel peubah sehingga nilai kebenarannya belum dapat ditentukan. Kalimat ini masih menjadi kalimat terbuka, tidak ada yang tahu apakah kalimat itu benar atau salah.

Contoh kalimat terbuka adalah sebagai berikut.

• x adalah bilangan ganjil.
• x + 3 < 10

Satu-satunya cara menyelesaikan kasus kalimat terbuka adalah dengan menyusun himpunan seluruh anggota dari S yang bila disubstitusikan ke peubah akan menghasilkan pernyataan yang benar.

Untuk itu, penyelesaian contoh di atas adalah sebagai berikut.

• x adalah bilangan ganjil, untuk itu, x adalah himpunan bilangan dari 1, 3, 5, 7, 9, dan seterusnya.
• x + 3 < 10, maka x adalah himpunan bilangan dari 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.

3. Ingkaran

Jenis logika matematika lainnya adalah ingkaran atau negasi. Ingkaran adalah pernyataan lain yang diperoleh dengan menambahkan kata tidak atau bukan pada pernyataan semula. Ingkaran dilambangkan dengan ~.

Untuk itu, apabila suatu proposisi bernilai benar, maka ingkaran akan bernilai salah. Begitu pula sebaliknya. Contoh ingkaran adalah sebagai berikut.

B: Andre adalah seorang penyanyi asal Yogyakarta.
S: Tidak benar bahwa Andre adalah seorang penyanyi asal Yogyakarta.

S: Manusia memiliki sayap.
B: Manusia tidak memiliki sayap.

4. Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang terdiri atas beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung tertentu. Kata hubung yang biasanya digunakan dalam logika matematika adalah:

• Dan
• Atau
• Jika-maka
• Bila dan hanya bila

Contoh pernyataan majemuk adalah sebagai berikut.

• Bila air dipanaskan, maka air akan mendidih.
• Adel sedang menonton TV atau membaca buku.
• Yogyakarta adalah kota pelajar dan mempunyai banyak objek wisata yang menarik.
• Medan adalah ibu kota Sumatera Utara bila dan hanya bila Semarang adalah ibukota Jawa Tengah.

Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk bergantung pada nilai kebenaran masing-masing pernyataan tunggal dan kata hubung yang digunakannya. Ini dia beberapa jenis pernyataan majemuk sesuai dengan kata hubungnya.

Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung "dan". Konjungsi dilambangkan dengan ∧. Untuk itu, sebuah konjungsi bernilai benar hanya jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai benar.

Sebagai contoh, sebuah kalimat majemuk terdiri atas pernyataan p dan q. Maka:

• Apabila p dan q benar, maka konjungsi tersebut bernilai benar.
• Apabila p benar dan q salah, maka konjungsi tersebut bernilai salah.
• Apabila p salah dan q benar, maka konjungsi tersebut bernilai salah.
• Apabila p dan q salah, maka konjungsi tersebut bernilai salah.

Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung "atau". Disjungsi dilambangkan dengan ∨. Terdapat 2 jenis disjungsi, yakni sebagai berikut.

• Disjungsi inklusif yang bernilai benar apabila minimal 1 pernyataan tunggalnya benar.
• Disjungsi eksklusif yang bernilai benar apabila salah satu (tidak boleh keduanya) dari pernyataan tunggalnya benar.

Untuk disjungsi inklusif, apabila sebuah kalimat majemuk terdiri atas pernyataan p dan q, maka:

• Apabila p dan q benar, maka disjungsi tersebut bernilai benar.
• Apabila p benar dan q salah, maka disjungsi tersebut bernilai benar.
• Apabila p salah dan q benar, maka disjungsi tersebut bernilai benar.
• Apabila p dan q salah, maka disjungsi tersebut bernilai salah.

Untuk disjungsi eksklusif, apabila sebuah kalimat majemuk terdiri atas pernyataan p dan q, maka:

• Apabila p dan q benar, maka disjungsi tersebut bernilai salah.
• Apabila p benar dan q salah, maka disjungsi tersebut bernilai benar.
• Apabila p salah dan q benar, maka disjungsi tersebut bernilai benar.
• Apabila p dan q salah, maka disjungsi tersebut bernilai salah.

Implikasi

Implikasi adalah kalimat majemuk yang menggunakan kata hubung jika-maka. Implikasi dilambangkan dengan tanda panah 1 arah (→).

Pernyataan pertama disebut sebagai anteseden dan pernyataan kedua disebut sebagai konsekuen. Implikasi biasanya digunakan untuk:

• Menyatakan suatu syarat.
• Menyatakan hubungan sebab akibat.
• Menyatakan peristiwa yang akan terjadi dari suatu tanda.

Suatu implikasi bernilai benar apabila antesedennya salah atau konsekuennya benar. Apabila sebuah kalimat majemuk terdiri atas anteseden p dan konsekuen q, maka:

• Apabila p dan q benar, maka implikasi tersebut bernilai benar.
• Apabila p benar dan q salah, maka implikasi tersebut bernilai salah.
• Apabila p salah dan q benar, maka implikasi tersebut bernilai benar.
• Apabila p dan q salah, maka implikasi tersebut bernilai benar.

Ekuivalensi

Ekuivalensi atau biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung "bila dan hanya bila". Ekuivalensi dilambangkan dengan tanda panah 2 arah (↔).

Ekuivalensi bernilai benar apabila kedua pernyataan tunggalnya memiliki nilai kebenaran yang sama. Sebagai contoh, apabila sebuah kalimat majemuk terdiri atas pernyataan p dan q, maka:

• Apabila p dan q benar, maka ekuivalensi tersebut bernilai benar.
• Apabila p benar dan q salah, maka ekuivalensi tersebut bernilai salah.
• Apabila p salah dan q benar, maka ekuivalensi tersebut bernilai salah.
• Apabila p dan q salah, maka ekuivalensi tersebut bernilai benar.

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut beberapa contoh soal logika matematika lengkap beserta pembahasannya.

Contoh 1

Selidiki kalimat-kalimat berikut ini, tentukan mana yang proporsi dan mana yang bukan.
1. Jakarta adalah ibu kota Indonesia.
2. 7 adalah angka ganjil.
3. 3 lebih besar dari 5.
4. Mengapa kamu menangis?
5. 5 + 6 = 10

Jawaban:
Dari beberapa pernyataan di atas, tidak semua termasuk ke dalam proposisi. Berikut penjelasan lengkapnya.
1. Kalimat pertama adalah proposisi dengan nilai kebenaran B (benar).
2. Kalimat kedua adalah proposisi dengan nilai kebenaran B (benar).
3. Kalimat ketiga adalah proposisi dengan nilai kebenaran S (salah).
4. Kalimat keempat bukanlah kalimat proposisi karena tidak mengandung nilai benar atau salah.
5. Kalimat kelima adalah proposisi dengan nilai kebenaran S (salah).

Contoh 2

Ingkaran dari pernyataan "Semua orang makan nasi" adalah...
A. Beberapa orang tidak makan nasi.
B. Semua orang tidak makan nasi.
C. Tidak semua orang tidak makan nasi.
D. Tidak semua orang makan nasi.
E. Beberapa orang makan nasi.

Jawaban:
Diketahui,
Negasi dari semua p adalah ada atau beberapa p.
Negasi dari makan nasi adalah tidak makan nasi.

Untuk itu, negasi dari kalimat semua orang makan nasi adalah ada atau beberapa orang tidak makan nasi, yang ada pada pilihan A.

Contoh 3

Apabila pernyataan p bernilai benar dan pernyataan q bernilai salah, maka pernyataan berikut yang bernilai salah adalah...
A. p ∨ q
B. p → q
C. ~ p ↔ ~ q
D. ~ p ∧ q
E. ~ p ∨ ~ q

Jawaban:

Untuk dapat menjawab pertanyaan di atas, maka kamu harus menguasai setiap jenis logika matematika yang ada terlebih dahulu. Sesuai dengan penjelasan sebelumnya, apabila p bernilai benar dan q bernilai salah, maka:
A. Disjungsi tersebut bernilai benar.
B. Implikasi tersebut bernilai benar.
C. Karena terdapat lambang negasi di depan pernyataan p dan q, maka apabila p benar dan q salah, maka implikasi tersebut bernilai salah.
D. Karena terdapat lambang negasi di depan pernyataan p, maka apabila p dan q benar, maka konjungsi tersebut bernilai benar.
E. Karena terdapat lambang negasi di depan pernyataan p dan q, maka apabila p benar dan q salah, maka disjungsi tersebut bernilai benar.

Untuk itu, pernyataan yang memiliki nilai salah ada pada pernyataan C, di mana p bernilai benar dan q bernilai salah, sehingga implikasi bernilai salah.

Itulah dia beberapa hal seputar logika matematika, mulai dari pengertian, jenis, dan contoh soal lengkap dengan pembahasannya. Sesuai dengan namanya, mengerjakan logika matematika membutuhkan logika dan penalaran, bukan sekedar hafalan. Untuk itu, supaya bisa menguasai materi ini, banyaklah berlatih dengan contoh soal yang tersedia. Awalnya logika matematika mungkin terlihat rumit, namun lama kelamaan logikamu akan terasah dengan sendirinya untuk mengerjakannya.