CONTOH APLIKASI PROGRAM LINIER Bentuk Perumusan Standar Program linier merupakan salah satu model matematik yang cukup populer dan telah lama diterapkan dalam analisis optimasi bidang sumberdaya air. Paket program yang dibuat berdasarkan algoritme simplex untuk penyelesaian hitungan telah banyak dijumpai, seperti LINDO, Excel Solver dan lain-lain, sehingga model ini cukup mudah penggunaannya. Model program linier dapat diterapkan untuk kasus optimasi dengan jumlah variabel dan perumusan kendala yang cukup banyak. Hanya saja model ini terbatas pada kasus yang perumusan fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk hubungan linier. Untuk kasus dengan n variabel dan m fungsi kendala bentuk standar perumu-san model matematik adalah sebagai berikut ini. sedemikian hingga dipenuhi: Contoh 1 Besaran Z yang merupakan fungsi variabel X1 dan X2 mempunyai bentuk hubungan sebagai berikut: Z = 3X1 + 5X2 Keterbatasan sumberdaya X1 dan X2 ditunjukkan pada beberapa persamaan kendala sebagai berikut ini. a. X1 4 b. 2X2 12 c. 3X1 + 2X2 18 d. X1 0 e. X2 0 Untuk memperoleh nilai variabel X1 dan X2 yang memberikan harga Z maksimal, maka dapat dituliskan perumusan fungsi tujuan sebagai berikut ini. OF : max Z = 3X1 + 5X2 Penyelesaian untuk kasus di atas dapat dicapai dengan prosedur grafis seperti ditunjukkan pada gambar berikut ini. X2 10 (X*1 = 2, X*2 = 6) 8 X1 = 4 2X2 = 12 6 4 Feasible solution Z* = 36 = 3X*1 + 5 X*2 2 3X1 + 2X2 = 18 X1 0 2 4 6 8 10 12 14 Z = 10 Dari gambar grafik di atas dapat diperoleh titik optimal adalah (2,6) yang memberikan nilai Z maksimal, yaitu sebesar 36. Memperhatikan letak titik optimal dengan penyelesaian cara grafis akan diperoleh ciri solusi optimal, yaitu: Titik optimal terletak pada batas daerah “feasible solution”, Titik optimal terletak pada perpotongan garis-garis dari “active constraints”, yaitu garis memenuhi persamaan untuk nilai variabel optimal, atau dengan kata lain apabila nilai variabel optimal disubstitusikan ke dalam rumusan kendala, akan menjadi persamaan (tanda atau akan menjadi = ). Berdasarkan sifat tersebut dikembangkan algoritme simplex untuk mencari solusi yang lebih umum keberlakuannya dengan cara iterasi. Contoh 2 Tiga orang petani bekerja sama harus menetapkan jenis tanaman dan luas areal yang ditanam untuk 3 macam tanaman. Data tentang ketersediaan lahan, air, benefit, kebutuhan air dan batas maksimum luas lahan untuk tiap jenis tanaman disajikan seperti pada tabel di bawah ini. Kesepakatan yang mereka tetapkan adalah luas tanaman dan luas ketersediaan lahan masing-masing petani harus proporsional. Tabel Ketersediaan Lahan dan Air Petani Lahan tersedia (ha) Ketersediaan air (1000 m3) 1 2 3 400 600 300 600 800 375 Tabel Benefit, Maksimum Luas Tanam dan Kebutuhan Air Tanaman Benefit (US$/ha) Max. area (ha) Kebutuhan Air (1000 m3) 1 2 3 400 300 100 600 500 325 3 2 1 Untuk menyelesaikan persoalan di atas, perlu dirumuskan model matematiknya sebagai berikut ini. Decision variables Xij = luas tanaman petani i untuk tanaman j dalam ha (i = 1,2,3) Objective function max Z = 400 (X11 + X21 + X31 ) + 300 (X12 + X22 + X32 ) + 100 (X13 +X23 + X33) Z = total benefit. Constraints Lahan : X11 + X12 + X13 400 X21 + X22 + X23 600 X31 + X32 + X33 300 Air : 3X11 + 2X12 + X13 600 3X21 + 2X22 + X23 800 3X31 + 2X32 + X33 375 Luas tanam : X11 + X21 + X31 600 X12 + X22 + X32 500 X13 + X23 + X33 325 Proportionality : X11 + X12 + X13 X21 + X22 + X23 X31 + X32 + X33 = = 400 600 300 Non Negativity Xij 0 ; i = 1,2,3 dan j = 1,2,3 Penyelesaian kasus optimasi di atas tidak dapat diselesaikan secara grafis, akan tetapi dengan iterasi mengikuti algoritme simplex. Dengan software untuk program linier berdasarkan algoritme simplex diperoleh hasil optimal seperti pada tabel berikut. Tabel Solusi Optimal Petani Luas tanaman (ha) Total area (ha) 1 2 3 1 133,3 100 0 250,3 2 100,0 250 0 350,0 3 25,0 150 0 175,0 Jumlah 258,3 500 0 Dengan nilai-nilai variabel optimal (ada 9 variabel) seperti pada tabel di atas, dapat diperoleh harga total benefit maksimum sebagai berikut : Z* = 400 x 258,3 + 300 x 500 + 100 x 0 = 103.333,3 + 150.000 + 0 = US$ 253.333,3 Contoh 3 Sebuah pabrik yang telah dilengkapi dengan instalasi pengolah limbah akan menyusun rencana produksi dengan memperhatikan batasan syarat kualitas air dari buangan limbah. Produk pabrik tersebut dapat dijual dengan harga US$ 10 per unit dengan biaya produksi US$ 3 per unit. Untuk satu unit barang yang diproduksi akan menghasilkan 2 unit limbah. Kapasitas instalasi pengolah limbah adalah 10 unit limbah dengan efisiensi penghilangan limbah 80%. Biaya pengolahan limbah per unit limbah adalah US$ 0,6. Pengusaha pabrik juga dikenai pajak sebesar US$ 2 per unit limbah yang sampai di badan sungai (tempat pembuangan limbah). Di lokasi pembuangan limbah (sungai) berlaku ketentuan bahwa limbah yang sampai di badan sungai tidak boleh lebih dari 4 unit. Dengan latar belakang persoalan tersebut bagian produksi pabrik harus menentukan kapasitas unit produksi dan limbah yang harus diolah di instalasi pengolah limbah (sebagian dibuang langsung ke sungai), agar mendapat keuntungan maksimal serta tidak melanggar ketentuan batas kualitas air buangan limbah. Rumuskanlah model optimasi dengan metode Program Linier serta berikan solusi optimalnya. Bagaimana rumusan model optimasi anda ? Tetapkan solusi optimal dengan cara grafis ! Teknik Optimasi Untuk Pengelolaan Sumberdaya Air Program Linier 2 24