PERSAMAAN LINIER n VARIABEL Nursama Heru Apriantoro Citation this article, APA Style Vancouver Email 1. : Apriantoro, NH (2016). Matematika Dasar.. Jakarta : Trustco : Apriantoro, NH. Matematika Dasar. Jakarta : Trustco; 2016 : nursamaheru@poltekkesjkt2.ac.id, nsheru@gmail.com Pengantar Dalam penerapan ilmu kesehatan, ilmu biologi, teknik, ataupun solusi statitik dan sebagainya banyak diselesaiakan dengan menggunakan pemodelan persamaan linier.. Persamaan linier adalah suatu penjumlahan suku-suku suatu variabel berhingga (n variabel) yang dinyatakan dalam suatu persamaan. Secara Umum Persamaan Linier dinyatakan dalam bentuk : −1 −1 −2 −2 ... 1 1 0 0=∑ n ax dengan an , an -1 , an-2,..., a0 adalah konstanta-konstanta yang disebut koefisisien dari suatu varibel yang nilainya diketahu sedang x0 , xn -1 , xn-2,..., xn merupakan variabel yang nilainya belum diketahui dan akan dicari. Jika a0 = 0 maka Persaman Linier disebut homogen. Sistem homogen memegang peranan penting untuk menentukan apakah Persamaan Linier mempunyai solusi atau tidak. Beberapa kemungkinan yang terdapat pada Persamaan Linier, yaitu, 1.1.Persamaan Linier mempunyai tepat sebuah solusi x 1.2.Persamaan Linier mempunyai banyak solusi x 1.3.Persamaan Linier tidak mempunyai solusi Selesaikan Persamaan Linier berikut dan gambarlah grafik dari persamaan linier tersebut : 1.1. x1  x2  4 = 0 dan 3x1  2x2  12 1.2 2x1  3x2 - 5 = 0 dan  4x1  6x2  10 1.3 2x1  x2  4 = 0 dan 4x1  2x2  8 Bersdasarkan grafik dari solusi persamaan di atas dilukiskan sebagai berikut : 54 Selesaikan persamaan linier berikut : i. x1  x2  x3 = 5, 2x1  3x2  2x3 = 8 dan 3x1  4x2  3x3 = 12 ii. x1  x2  x3 = 5, 2x1  x2  2x3 = 8 dan x1  2x2  2x3 = 9 iii. x1  x2  x3 = 5, 2x1  x2  2x3 = 8 dan 3x1  2x2  3x3 = 13 Kesimpulan apa yang saudara dapatkan ? Berdasarkan fenomena-fenomena di atas, suatu suatu persamaan linier dapat dibedakan berdasarkan eksistensi penyelesaiannya, yakni PL mempunyai solusi (konsisten) dan PL yang tidak mempunyai solusi (inkonsisten). PL yang konsisten dapat dibedakan menjadi PL independen yaitu dengan penyelesaian tunggal dan PL dependen yaitu dengan solusi tak terhingga banyaknya. 2. Penyelesaian Persamaan Linier Metode Substitusi dan Eliminasi Dalam menyelesaikan suatu persamaan linear dengan n variabel dapat diselesiakan dengan menggunakan metode subtitusi, eliminasi atau gabungan keduanya. Metode substitusi adalah mensubstitusikan salah satu varibel dari suatu persamaan linier ke persamaan linier yang lainnya, sedangkan eliminasi adalah menghilangkan salah satu variebl dari suatu persamaanliner menjadi bentukj PL yang lebih sederhana. Contoh i Selesaikan x – 2y = 8 dan 3x + 2y = -8 dengan cara substitusi : x – 2y = 8 atau x = 2y + 8 ….…. (PL 1) 3x + 2y = -8 ……..…. (PL 2) Dari persamaan linier 1(PL1) kita substitusikan ke PL 2 diperoleh : ⇔ 3(8 + 2y) + 2y = -8 ⇔ y = -4 Terakhir, untuk menentukan nilai x, subtitusikan nilai y =4 ke persamaan (PL1) diperoleh ⇔ x = 2y + 8 ⇔ x = 2 (-4) + 8 ⇔x=0 Jadi, HP persamaan di atas adalah {0, -4}. 55 Contoh ii Selesaikan x + 2y = 2 dan 2x - 3y = -10 dengan cara eliminasi : x + 2y = 2 (x2) 2x + 4y = 4 2x – 3y = –10 (x1) 2x – 3y = –10 – 7y = 14, maka y = 2 Terakhir, untuk menentukan nilai x, subtitusikan nilai y = 2 ke persamaan x – 2y = 2 diperoleh ⇔ x = – 2y + 2 ⇔ x = –2 (2) + 2 ⇔ x = –2 Jadi, HP persamaan di atas adalah {-2, 2}. 3. Penyelesaian Persamaan Linier Metode Matriks Bentuk umum persamaan linier yang terdiri dari n variabel dan n persamaan adalah sebagai berikut, a1x1 + b1x2 + c1x3+...+y1xn = h1 a2x1 + b2x2 + c2x3+...+y2xn = h2 .... Anx1 + bnx2 + cnx3+...+ynxn = hn Jika, a 1 b1 c1 ... y1  a b 2 c 2 ... y 2  2  A ... .... ... ....    a n b n c n .... y n  dan  h1  h  H   2 ...  h n  Untuk menyelesaikan persamaan linier di atas dapat dilakukan dengan berbagai kaedah matriks. 56 3.1. Metode Eliminasi Gauss Metode eliminasi Gauss digunakan untuk menyelesaikan sebuah persamaan linier dengan cara menggandeng matriks bujur sangkar A dengan vektor kolom B, kemudian matriks A dibentuk menjadi matriks diagonal dengan cara melakukan sejumlah transformasi elementer pada baris. Perubahan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut, Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian Persamaan Linier tersebut dengan metode eliminasi Gauss Jordan 2x + y - z = 8 -3 x - y + 2z = -11 -2x + y + 2z = -3 1 1   2  A    3  1 2  ;  2 1 2   8 H  - 11  - 3  Elemenesi Gaussian : 57 2 - 3  - 2 2  0  0  2 0   0 1 -1 -1 2 1 2 1 -1 1 2 0 1 2 -1 1 0 1 0 0 -1 3 8  b 2  2 b1 - 11  - 3  b3  b1 8  b2   1  b  1  1 1 b3 2 b3 7  b1  b 2 3  - 1  1 b1 2 2  0  0  2  0  0  1 0   0 1 -1 1 2 2 1 2 1 1 8   b  4b 2 1 3  5  0 1 2 0 -1 0 0 1 0 0 1 0 7  2b2 3  2   b3 1  2 3  -1  x  2 y  3 z  1 Dari eliminasi Gauss maka himpunan pemyelesaian adalah 2, 3, −1 3.2. Penyelesaian Cara Invers Untuk menyelesaian suatu persamaan linier dapat dilakukan dengan penyelesian matriks invers sebagai berikut :Xn = A-1 H Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian dari Persamaan Linier dengan cara Invers Matriks berikut : 2x1 + x2 + 4x3 = 16 x2 - 10x3 + 28 = 0 5 x2 + 2x3 = 16 58 52 18  14  16  2 1 4      4 20  A  0 1  10 ; H  - 28 ; maka | | = 104 ; Adjoin A   0  0  10 2   16  0 5 2  52 18 - 14  16  1  1  X A H 0 4 20  - 28  2 maka X 1  1, X 2  2, dan X 3  3 104   0 - 10 2   16  3  1 Hasil akhir himpunan penyelesaian persamaan di atas adalah 1, 2, 3 3.3. Penyelesaian Cara Cramer Di samping dengan cara invers, untuk menyelesaikan persamaan linier dapat pula dilakukan dengan aturan Cramer sebagai berikut : xj  det (A j ) det (A) , j  1, 2, 3,.., n Untuk j = 1, maka : h 1 a 12 a 13 ... a 1n xi  h 2 a 22 a 23 ... a 2n 1 . det(A) . . h n a n2 a n3 ... a nn Untuk j = n, maka : a 11 a 12 a 13 ... a 1(n -1) h 1 xn  a 21 a 22 a 23 ... a 2(n -2) h 2 1 . det(A) . . a n1 a n2 a n3 ... a n(n -1) h n 59 Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian Persamaan Linier dengan cara Cramer ! 2x1 + 3x2 + x3 = 9 x1 + 2x2 + 3x3 = 6 3x1 + x2 + 2x3 = 8 2 3 1  9    A  1 2 3 ; H  6 3 1 2 8  2 3 1 A  1 2 3  18 3 1 2 9 3 1 A 1  6 2 3  35,  X1  8 1 2 2 9 1 A 2  1 6 3  29 ,  X2  3 8 2 2 3 9 A 3  1 2 6  5, 3 1 8  X3  A1 A A2 A A3 A  35 18  29 18  5 18 Hasil akhir himpunan penyelesaian persamaan di atas adalah DAFTAR PUSTAKA , , Anton H (1988). Aljabar Linier Elementer. Alih Bahasa: Pantur Silaban dan I Nyoman Susila. Jakarta. Erlangga Ayres, Frank Jr (1984). Theory and Problems of Matrices. Scahaum’s Outline Series. NY:Mc Graw-Hill Book Company Ayres, F., Schmidt, P.A. (2004). Matematika Universitas. Schaum’s OUTlines. Edisi Ketiga. Alih Bahasa Alit Bondan. Jakarta : Erlangga Supranto, J. (1987). Pengantar Matrix. Jakarta: Lembaga Penerbit FEUI 60 LATIHAN 1. Diketahui persamaan linier x + 2y +3z = 3 2x + 3y + 2z = 3 2x + y + 2z = 5 Tentukan nilai x, y, dan z dalam bentuk substitusi atau eliminasi atau invers ! 2. Diketahui persamaan linier x - 2z = 2 -2x - 5y = 4 2x + 2y + 3z = 5 Tentukan nilai x, y, dan z dengan cara invers matriks ! 3. Tentukan a, b, c dan d dari persamaan berikut dengan menggunakan eliminasi matriks kaedah Cramer a – 2c + 7d = 11 2a – b + 3c + 4d = 9 3a – 3b + c + 5d = 8 2a + b + 4c + 4d = 10 4. Tentukan x, w, t dan z dari persamaan linier dengan metode eliminasi Gauss Jordan ! 2x + 4w – y + 2z = -7 4x + 2w + 3y –z = 17 6x – 3w + 4t + 4z = 19 -2x + w – 2y – z = -9 61