Hayatun Nufus
Erdawati Nurdin
PROGRAM LINIER
i
Katalog Dalam Terbitan (KDT)
Program Linier
Penulis
: Hayatun Nufus
: Erdawati Nurdin
Editor
: Rezi Ariawan
Layout
: Rismansyah
Design Cover
: Cahaya Firdaus Team
ISBN
: 978 602 60473 8 0
vi, 139 hal (145x205mm)
Cetakan Tahun 2016
Penerbit :
CAHAYA FIRDAUS
Publishing and Printing
Jl. Sepakat No. 101 Panam-Pekanbaru
Mobile Phone : +6285265504934
Undang – undang Republik Indonesia Nomor 19 Tahun 2002
Tentang Hak Cipta
Lingkup Hak Cipta
Pasal 2
1. Hak Cipta merupakan Hak Eklusif bagi Pencipta atau Pemegang Hak Cipta
untuk mengumumkan atau memperbanyak ciptaannya yang timbul secara
otomatis setelah suatu ciptaan dilahirkan tanpa mengurangi pembatasan
menurut peraturan perundanga-undangan yang berlaku
Lingkup Hak Cipta
Pasal 72
1. Barang siapa dengan sengaja melanggar dan tanpa hak melakukan
perbuatan sebagaimana dimaksud pasal 2 ayat 1 atau pasal 49 ayat 1 dan 2
dipidana penjara masing-masing paling singkat 1 bulan dan/atau denda
paling sedikit Rp. 1.000.000,- atau pidana penjara paling lama 7 tahun
dan/atau paling banyak Rp. 5.000.000.000,2. Barang siapa dengan dengaja menyiarkan, memamerkan, mengedarkan,
atau menjual kepada umum suatu ciptaan atau barang hasil pelanggaran
hak cipta sebagaimana dimaksud dalam ayat 1, dipidana dengan penjara
paling lam 5 tahun dan atau denda paling banyak Rp. 500.000.000,-
ii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah penulis ucapkan puji syukur kehadirat Allah SWT, karena
atas berkat rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan buku ini
dengan judul Program Linier. Program linier merupakan salah satu mata
kuliah yang wajib diikuti oleh semua mahasiswa di Program Studi
Pendidikan Matematika.
Buku ini terdiri atas 15 bab yang diawali dengan pengetahuan dasar
tentang program linier. Selanjutnya diikuti oleh berbagai metode yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan persoalan program linier. Secara umum,
metode-metode penyelesaian ini disajikan dalam 3 sub bab, yaitu
pengantar, langkah-langkah, dan contoh penerapan.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
membantu dalam penyusunan buku ini, terutama Rezi Ariawan, M. Pd.
Penulis menyadari keterbatasan ilmu dan pengalaman dalam menyusun
buku ini. Oleh karena itu, saran dan kritik yang konstruktif sangat diperlukan
demi kesempurnaan buku ini. Semoga buku ini dapat bermanfaat bagi kita
semua.
Pekanbaru, Oktober 2016
Penulis
iii
DAFTAR ISI
Halaman
KATA PENGANTAR ............................................................................. iii
DAFTAR ISI .......................................................................................... iv
BAB 1
PENGETAHUAN DASAR PROGRAM LINIER
A. Sejarah Program Linier .............................................................. 1
B. Konsep Dasar Program Linier ....................................................4
C. Ciri-ciri Program Linier ............................................................... 5
D. Model Program Linier ................................................................ 5
BAB 2
METODE GRAFIK
A. Pengantar ................................................................................8
B. Langkah-langkah .......................................................................8
C. Contoh Penerapan ....................................................................9
BAB 3
METODE ALJABAR
A. Pengantar .............................................................................. 12
B. Langkah-langkah ..................................................................... 12
C. Contoh Penerapan ................................................................... 13
BAB 4
METODE SUDUT
A. Pengantar .............................................................................. 17
B. Langkah-langkah ..................................................................... 17
C. Contoh Penerapan-1 ................................................................ 18
D. Contoh Penerapan-2 ............................................................... 22
E. Contoh Penerapan-3 ............................................................... 23
iv
BAB 5
METODE SIMPLEKS
A. Pengantar .............................................................................. 25
B. Langkah-langkah ..................................................................... 30
C. Contoh Penerapan ................................................................... 31
BAB 6
METODE SIMPLEKS DIREVISI
A. Pengantar .............................................................................. 36
B. Langkah-langkah ..................................................................... 37
C. Contoh Penerapan .................................................................. 38
BAB 7
METODE BRANCH AND BOUND
A. Pengantar .............................................................................. 46
B. Langkah-langkah ..................................................................... 46
C. Contoh Penerapan .................................................................. 47
BAB 8
MODEL TRANSPORTASI
A. Pengantar .............................................................................. 64
B. Formulasi Matematis dari Model Transportasi .......................... 65
C. Permasalahan pada Model Transportasi ................................... 68
BAB 9
METODE NORTH WEST CORNER
A. Pengantar .............................................................................. 70
B. Langkah-langkah ..................................................................... 72
C. Contoh Penerapan .................................................................. 74
BAB 10
METODE LEAST COST
A. Pengantar .............................................................................. 88
B. Langkah-langkah ..................................................................... 89
C. Contoh Penerapan-1 ............................................................... 90
D. Contoh Penerapan-2 ............................................................... 94
v
BAB 11
VOGEL APPROXIMATION METHOD (VAM)
A. Pengantar ............................................................................ 102
B. Langkah-langkah ................................................................... 102
C. Contoh Penerapan ................................................................ 103
BAB 12
METODE STEPPING STONE
A. Pengantar ............................................................................ 112
B. Langkah-langkah ................................................................... 112
C. Contoh Penerapan ................................................................ 113
BAB 13
METODE MODI
A. Pengantar ............................................................................ 119
B. Langkah-langkah ................................................................... 119
C. Contoh Penerapan ................................................................ 120
BAB 14
MODEL PENUNJUKKAN
A. Pengantar ............................................................................ 125
B. Langkah-langkah ................................................................... 126
C. Contoh Penerapan ................................................................ 126
BAB 15
METODE PERJALANAN SALESMEN
A. Pengantar ............................................................................ 132
B. Langkah-langkah ................................................................... 133
C. Contoh Penerapan ................................................................ 134
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................... 139
vi
BAB 1
PENGETAHUAN DASAR PROGRAM LINIER
A.
SEJARAH PROGRAM LINIER
Akar dari perkembangan program linier dapat ditelusuri kembali dalam
beberapa dekade, dimana penggunaan pendekatan ilmiah dalam
manajemen organisasi dimulai. Bagaimanapun juga, permulaan dari
kegiatan yang disebut program linier telah mulai dikembangkan
penggunaannya pada permulaan Perang Dunia Kedua. Pada saat itu,
dirasa perlu untuk mengalokasikan sumber daya-sumber daya yang
terbatas dan langka untuk bermacam-macam operasi militer. Dan, kegiatankegiatan dalam setiap operasi harus dilakukan dengan cara yang efektif
untuk memenangkan perang. Manajemen militer Inggris dan kemudian
Amerika mulai “memanggil” para ahli untuk menerapkan pendekatan ilmiah
untuk keperluan strategis dan taktis militernya. Keberhasilan upaya ini
tampak dalam kemenangan Angkatan Udara Inggris, peperangan di Atlantik
Utara, dan sebagainya.
Setelah perang dunia kedua berakhir, dengan melihat suksesnya
penggunaan teori program linier dalam militer, kalangan industri menjadi
tertarik pada bidang baru ini. Pertumbuhan industri (setalah perang berakhir)
terjadi sangat pesat, sehingga para ahli yang menguasai teori program linier
sangat dibutuhkan dalam dunia bisnis, karena masalah-masalah yang timbul
pada dasarnya sama, walaupun dalam konteksnya berbeda dengan
permasalahan yang dihadapi kalangan militer.
Dari waktu ke waktu, kegunaan teori ini semakin dirasakan oleh
perusahaan-perusahaan (terutama perusahaan besar), sehinggga mereka
berlomba-lomba untuk memperkerjakan para ahli di bidang ini atau
mengirimkan staf mereka untuk memperdalam ilmunya di bidang teori
program linier. Beberapa tokoh yang sangan dikenal di bidang ini adalah
Leonid Vitaliyevich Kantorovich, Tjalling Charles Koopmans, dan George
Bernard Dantzig.
Program Linier
|1
BAB 2
METODE GRAFIK
A.
PENGANTAR
Metode Grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan
untuk memecahkan permasalahan linier programming. Metode ini
menggunakan pendekatan grafik dalam pengambilan keputusannya, dimana
seluruh fungsi kendala dibuat dalam satu bagian gambar kemudian diambil
keputusan yang optimum.
Metode ini terbatas pada pemakaian untuk dua variabel keputusan,
apabila memiliki lebih dari dua variabel keputusan, maka metode ini tidak
dapat digunakan. Artinya persamaan atau pertidaksamaan harus terdiri dari
dua variabel. Perhatikan contoh dibawah ini
B.
LANGKAH – LANGKAH
Ada beberapa langkah yang harus diikuti dalam menyelesaikan
permasalahan program linier menggunakan mentode grafik, yaitu:
1. Buat model yang sesuai dengan masalah yang ada. Artinya, rumuskan
masalah asli atau masalah yang diberikan menjadi model matematika
yang sesuai dengan syarat-syarat yang diperlukan dalam model
8|
Program Linier
BAB 3
METODE ALJABAR
A.
PENGANTAR
Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan program linear adalah metode aljabar. Metode ini dikatakan
sebagai metode aljabar karena dalam menyelesaikan permasalahan
program linear dengan menggunakan metode ini banyak menggunakan
aturan-aturan aljabar, diantaranya adalah substitusi dan eliminasi. Oleh
sebab itu, metode ini dikatakan sebagai metode aljabar. Untuk
menyelesaikan permasalahan program linear dengan menggunakan metode
ini, maka ada beberapa langkah yang harus diikuti. Berikut langkahlangkahnya.
B.
LANGKAH-LANGKAH
Langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan program linear
menggunakan metode aljabar diantaranya:
1. Mengubah persoalan program linear yang belum dalam bentuk standar
menjadi persoalan program linear yang sudah dalam bentuk standar
dengan cara mengubah tanda pertidaksamaan menjadi persamaan.
Untuk mengubah tanda pertidaksamaan menjadi persamaan dapat
dilakukan dengan cara memasukkan “Slack Variable” dan ”Surplus
Variable”. Slack Variable merupakan variabel yang ditambahkan
disebelah kiri tanda ketidaksamaan, agar ketidaksamaan menjadi
persamaan. Selanjutnya slack variabel digunakan apabila fungsi tujuan
yang dinyatakan adalah maksimumkan atau fungsi pembatasnya
bertanda (≤). Sementara surplus variabel merupakan variabel yang
harus dikurangkan disebelah kiri tanda ketidaksamaan. Surplus
variabel digunakan untuk fungsi tujuan yang dinyatakan adalah
minimumkan atau fungsi pembatasnya bertanda (≥). Perhatikan contoh
berikut:
4X1 + 2X2 ≤ 60
4X1 + 2X2 + X3 = 60 (Penambahan Slack
Variable)
12 |
Program Linier
BAB 4
METODE SUDUT
A.
PENGANTAR
Metode sudut merupakan salah satu metode yang dapat digunakan
dalam menemukan selesaian dari permasalahan program linear. Metode
sudut ini tidak jauh berbeda dengan metode grafik.
Dalam menyelesaikan permasalahan program linear dengan
menggunakan metode sudut, kita tidak perlu menggambarkan beberapa
grafik persamaan seperti dalam metode grafik. Yang kita lakukan dalam
menggunakan metode sudut adalah melakukan pengecekan apakah
persamaan yang dihasilkan memenuhi atau tidak dari persamaan awal yang
diberikan.
B.
LANGKAH-LANGKAH
Adapun langkah-langkah yang dapat ditempuh dalam menyelesaikan
permasalahan program linear dengan menggunakan metode sudut adalah:
1. Menyusun Pertidaksamaan.
a. x1 ≥ 0
b. x2 ≥ 0
c. xn ≥ 0
d. x1 + x2 + ….+ xn ≤ c1
e. x1 + x2 + ….+ xn ≤ cm
2. Membuat sebuah tabel dengan komponen:
a. Sudut
b. Koordinat titik sudut
c. Cek
d.
= fungsi tujuan
3. Menentukan kombinasi sudut.
4. Menentukan koordinat titik-titik sudut.
5. Melakukan pengecekan titik sudut yang diperoleh ke semua
pertidaksamaan memenuhi (M) atau tidak memenuhi (TM).
Program Linier
| 17
BAB 5
METODE SIMPLEKS
A.
PENGANTAR
Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif
(pengulangan), yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari suatu
titik ekstrem pada daerah fisibel (ruang solusi) menuju ke titik ekstrem yang
optimum. Secara matematis, permasalahan program linier dapat ditulis
sebagai berikut :
Maks. atau min. : z c1 x1 c2 x2 ... cn xn
Berdasarkan
:
a11 x1 a12 x 2 .... a1n x n b1
a 21 x1 a 22 x 2 .... a 2 n x n b2
.
.
.
a m1 x1 a m 2 x 2 .... a mn x n bm
xi 0, i 1,2,...n
Jika kita defenisikan
:
a11 a12 ... a1n
x1
b1
a
x
b
21 a 22 ... a 2 n
2
2
.
.
.
A
; X ; B
.
.
.
.
.
.
x n
bm
a m1 a m 2 ... a mn
Program Linier
| 25
BAB 6
METODE SIMPLEKS DIREVISI
A.
PENGANTAR
Metode Simpleks direvisi digunakan dengan ketentuan apabila terjadi
penyimpangan-penyimpangan dari bentuk standar simpleks. Adapun
penyimpangan dari bentuk standar dapat terjadi karena beberapa sebab,
antara lain karena:
1.
Batasan dengan tanda sama dengan (=)
Batasan dari persoalan program linier yang bertanda sama dengan (=)
harus diubah agar sesuai dengan bentuk standar, sehingga dapat
diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks. Caranya adalah
dengan menambahkan variabel buatan (artivicial variable) yang bernilai
positif, yang dilambangkan dengan x n 1 , xn 2 , …
Sebelum variabel buatan masuk, batasan sudah berbentuk
persamaan, setelah variabel buatan masuk, masih berbentuk persamaan.
Akibatnya, timbul syarat agar tetap sesuai dengan persamaan semula,
maka variabel buatan harus bernilai nol (0).
Variabel buatan yang ditambahkan hanya merupakan syarat supaya
algoritma metode simpleks dapat berjalan. Sebagai usaha agar variabel
buatan segera bernilai nol (0), maka disusunlah fungsi tujuan baru dengan
bentuk z z M x n 1 dimana M adalah bilangan positif yang sangat
besar tapi tak terhingga. Dengan demikian diharapkan agar variabel buatan
segera keluar dari kolom variabel dasar karena koefisiennya bernilai negatif
yang sangat besar.
2.
Minimasi
Fungsi tujuan dari persoalan program linier yang bersifat minimasi
harus diubah menjadi maksimasi, agar sesuai dengan bentuk standar, yaitu
maksimasi., sehingga dapat diselesaikan dengan menggunakan metode
simpleks. Caranya adalah dengan mengganti tanda positif dan negatif pada
fungsi tujuan, sebagai berikut :
36 |
Program Linier
BAB 7
METODE BRANCH AND BOUND
A.
PENGANTAR
Teknik Branch and Bound merupakan teknik solusi untuk persoalan
program linier yang mengharuskan variabelnya berupa bilangan bulat.
Prinsip yang mendasari teknik ini adalah bahwa total set solusi yang fisibel
dapat dibagi menjadi subset-subset solusi yang lebih kecil. Subset-subset ini
selanjutnya dapat dievaluasi secara sistematis sampai solusi yang terbaik
ditemukan. Teknik Branch and Bound pada persoalan program linier
digunakan bersama-sama dengan metode simpleks.
Teknik ini menggunakan suatu diagram yang terdiri dari node dan
cabang (branch) sebagai suatu kerangka dalam proses pemerolehan solusi
optimal. Masing-masing node memuat solusi program linier relaksasi
(program linier yg mengabaikan batas-batas bilangan bulat) sesuai dengan
fungsi tujuan dan batasannya. Node pertama akan memuat solusi program
linier relaksasi dari persoalan yang diberikan. Node kedua, ketiga, keempat,
dan seterusnya memuat solusi program linier relaksasi dari persoalan yang
diberikan ditambah dengan batasan yang terdapat pada masing-masing
cabangnya.
B.
LANGKAH-LANGKAH
Langkah-langkah penggunaan teknik Branch and Bound adalah
sebagai berikut :
1. Dapatkan solusi simpleks optimal dari program linier relaksasi yang
bersangkutan.
2. Solusi yang dihasilkan pada langkah 1 dinyatakan sebagai batas
atas (upper bound) dan pembulatan ke bawah sebagai batas
bawah (lower bound) pada node 1.
3. Pilihlah variabel dengan pecahan yang terbesar untuk
pencabangan (branch). Ciptakan dua batasan baru untuk variabel
ini. Hasilnya adalah sebuah batasan dan sebuah batasan .
4. Ciptakan dua node baru, satu dengan batasan dan satu dengan
batasan .
46 |
Program Linier
BAB 8
MODEL TRANSPORTASI
A.
PENGANTAR
Model transportasi pertama kali dikemukakan oleh FL. Hitch Cock
pada tahun 1941. Ia menyajikannya dalam studi kasus mengenai The
Distribution of Product from Several Sources to Numerous Localities.
Metode inilah yang pertama-tama digunakan dalam memecahkan persoalan
transportasi, yang kemudian disusul oleh T. C. Koopmans yang pada tahun
1947. Koopmans menerbitkan buku tentang sistem transportasi dengan
judul Optimum Utilization of The transportation System.
Masalah transportasi adalah bagian dari persoalan program linier yang
membahas tentang minimasi biaya transportasi dari suatu tempat ke tempat
lain. Istilah transportasi atau distribusi mengandung makna bahwa adanya
perpindahan atau aliran barang dan jasa dari suatu tempat ke tempat yang
lain. Kita tahu bahwa mendistribusikan barang dari suatu tempat ke tempat
yang lain memerlukan alat dan biaya transportasi.
Pada dasarnya setiap daerah tujuan dapat menerima komoditas dari
sembarang daerah sumber, kecuali ada kendala lainnya. Kendala yang
mungkin terjadi adalah tidak adanya jaringan transportasi dari suatu sumber
menuju suatu tujuan atau waktu pengangkutan yang lebih lama
dibandingkan masa berlaku komoditas.
Secara garis besar, persoalan transportasi merupakan suatu masalah
pendistribusian suatu komoditas atau produk dari beberapa sumber (supply)
ke sejumlah tujuan (destination) dengan tujuan meminimumkan ongkos
pengangkutan yang dibutuhkan. Ciri-ciri persoalan transportasi adalah :
1. Terdapat sejumlah sumber dan sejumlah tujuan tertentu
2. Kuantitas komoditas atau barang dan jasa yang didistribusikan dari
setiap sumber dan diminta oleh setiap tujuan besarnya tertentu
3. Komoditas yang dikirim atau diangkut dari sumber ke suatu tujuan
besarnya sesuai dengan permintaan dan kapasitas sumber
4. Ongkos pengangkutan komoditas dari suatu sumber ke tujuan
besarnya tertentu
64 |
Program Linier
BAB 9
METODE NORTH WEST CORNER
A.
PENGANTAR
Aplikasi matematika saat ini banyak diterapkan dalam berbagai bidang
kehidupan, salah satunya di bidang industri (perusahaan). Permasalahan
yang sering dihadapi perusahaan (industri) adalah mengenai permasalahan
transportasi, yaitu bagaimana pengalokasian distribusi produk yang tepat
dari sejumlah tempat asal ke beberapa tujuan distribusi dengan tujuan
meminimalkan biaya transportasi untuk menekan pengeluaran. Hal ini
berkaitan erat dengan rute pendistribusian yang tepat yang digunakan.
Namun pada kenyataannya, terdapat kendala-kendala yang
mempengaruhi penentuan rute pendistribuaian. Kendala yang mungkin
terjadi adalah tidak adanya jaringan transportasi dari suatu sumber menuju
suatu tujuan atau waktu atau pengangkutan yang lebih lama dibandingkan
masa berlaku produk. Kendala ini akan semakin sulit jika penentuan rute
tersebut dilakukan secara manual, sehingga akan timbul kendala-kendala
lain seperti salah perhitungan, kelalaian operasional, dan waktu yang
dibutuhkan dalam pengambilan keputusan masih terhitung lama. Berikut ini
adalah suatu contoh persoalan pendistribusian produk yang membutuhkan
cara yang tepat dalam menentukan rute pendistribusian untuk meminimal
biaya transportasi :
Perusahaan Jaya Abadi sudah mendapat kontrak untuk menyuplai
gravel (pengeras jalan) untuk tiga proyek yang terletak di kota A, B, dan C.
Kepala proyek pembuatan jalan tersebut sudah memperkirakan permintaan
proyek konstruksi gravel tersebut untuk tiga buah jalan yang harus
dilaksanakan dengan data sebagai berikut :
Permintaan Muatan
Truk Tiap Minggu
A
72
B
102
C
41
Jumlah yang tersedia = 215
Proyek
70 |
Program Linier
BAB 10
METODE LEAST COST
A.
PENGANTAR
Berdirinya suatu perusahaan di tengah-tengah kehidupan masyarakat
mempunyai tujuan untuk menghasilkan suatu alat pemuas berupa barang
dan jasa untuk memenuhi kebutuhan hidup masyarakat. Eksistensi
perusahaan tersebut bergantung pada tanggapan masyarakat terhadap
produk-produk yang dihasilkan dan berkaitan dengan program pemasaran
produk yang dilakukan perusahaan.
Agar tujuan kegiatan pemasaran dapat tercapai, maka salah satu
program yang harus dijalankan oleh perusahaan adalah
menyalurkan/mendistribusikan hasil-hasil produksi kepada konsumen.
Sejalan dengan tujuan tersebut, perusahaan memerlukan rencana
pendistribusian produk yang tepat karena dengan ketidaktepatan dalam
pendistribusian dapat menyebabkan tidak optimalnya keuntungan bagi
perusahaan.
Contoh permasalahan yang kerap terjadi :
Sebuah perusahaan bangunan Damai Sejahtera memproduksi batu
bata untuk dijual pada toko-toko bangunan di beberapa kota. Saat ini,
perusahaan memiliki tiga pabrik yang berlokasi di daerah A, B, dan C.
Perusahaan juga memiliki dan mengoperasikan empat toko yang berada di
kota I, II, III, dan IV. Banyaknya kebutuhan dan persediaan pada tiap toko
dan pabrik dapat dilihat pada tabel berikut :
88 |
A
B
C
I
10
12
5
Kebutuhan
5 truk
II
5
7
14
15
truk
Dalam puluhan ribu rupiah
III
IV
Persediaan
20
11
15 truk
9
20
25 truk
16
18
5 truk
15
10
truk truk
Program Linier
BAB 11
VOGEL’S APPROXIMATION METHOD (VAM)
A.
PENGANTAR
Metode Pendekatan Vogel diperkenalkan oleh WR. Vogel tahun 1948.
Prinsip dari metode ini adalah memilih harga-harga ongkos terkecil tiap-tiap
baris kemudian menghitung selisih antara ongkos terkecil tersebut dengan
ongkos terkecil berikutnya. Dalam hal ini yang selisihnya nol tidak
diperhatikan. Hal yang sama diperlakukan terhadap kolom. Bilanganbilangan selisih tersebut dikenal dengan bilangan Vogel.
B.
LANGKAH - LANGKAH
Langkah-langkah pengerjaannya adalah sebagai berikut :
1. Hitung pinalty untuk tiap baris dan kolom dengan jalan mengurangkan
elemen ongkos terkecil dari kedua terkecil
2. Selidiki kolom/ baris dengan pinalty terbesar. Alokasikan sebanyak
mungkin variabel dengan ongkos terkecil, sesuaikan dengan supply
dan demand, kemudian ditandai kolom/baris yang sudah terpenuhi.
Kalau ada 2 buah baris/kolom yang terpenuhi secara simultan, pilih
salah untuk ditandai, sehingga supplay/demand pada baris/kolom yang
tidak terpilih variabelnya adalah nol. Setiap baris/kolom dengan
demand/supply sama dengan nol, tidak akan terbawa lagi dalam
perhitungan pinalty berikutnya.
3. a. Bila tinggal 1 baris/kolom yang belum ditandai, STOP.
b. Bila tinggal 1 kolom/baris dengan supply/demand positif yang
belum ditandai, tentukan variabel basis pada baris/kolom dengan
cara ongkos terkecil.
c. Bila semua baris dan kolom yang belum di tandai mempunyai
supply dan demand sama dengan nol, tentukan variabel-variabel
basis yang berharga nol dangan cara ongkos terkecil. Kemudian
STOP.
d. Jika 3a, b dan c tidak terjadi, hitung kembali pinalty untuk
baris/kolom yang belum ditandai. Kembali ke langkah 2.
102 |
Program Linier
BAB 12
METODE STEPPING STONE
A.
PENGANTAR
Metode stepping stone dilakukan setelah melalui salah satu dari
Metode north west corner, metode least cost, atau metode VAM .
Metode ini memiliki alur kerja sebagai berikut :
1. Menentukan variabel masuk, yaitu sel yang berkecenderunga
untuk dipertukarkan dengan isi sel yang lain.
2. Tentukan sel yang berseberangan lokasinya untuk proses
pertukaran.
3. Pertukaran dilakukan. Jika hasil lebih optimal maka proses
dianggap berhasil. Uji lagi dengan variabel.
B.
LANGKAH - LANGKAH
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut :
1. Apakah jumlah variabel basis sama dengan n+m+1? Jika kurang dari
m+n+1 maka akan terjadi kemerosotan (degeneracy). STOP. Tetapi
jika sama maka dapat dihitung
untuk sel-sel yang bukan
basis, engan cara sebagai berikut:
a. Dibuat loop tertutup bagi setiap variabel non basis dimana loop
tersebut berawal dan berakhir pada variabel non basis, dan
setiap titik sudut loop tersebut harus merupakan titik-titik yang
ditempati oleh variabel-variabel basis dalam tabel transportasi.
b. Dihitung
= jumlah para
pada loop dengan koefisien
(+1) dan (-1) bergantian dengan koefisien variabel non basis (-1)
2. Menentukan variabel yang masuk menjadi basis (entering variable)
dengan cara memilih nilai
yang terbesar atau Max (
) . (Xst masuk menjadi basis bila dan hanya bila
*
+.
112 |
Program Linier
BAB 13
METODE MODI
A.
PENGANTAR
Metode MODI disebut juga metode Faktor Pengali atau Multiplier. Cara
iterasinya sama seperti Metode Batu Loncatan (Stepping Stone). Perbedaan
utama terjadi pada cara pengevaluasian variabel non basis, atau penentuan
penuruann ongkos transport per unit untuk setiap variabel.
B.
LANGKAH - LANGKAH
Metode Modi dikembangkan berdasarkan teori dualitas. Untuk setiap
baris ke-i dari tabel transportasi dikenal suatu bilangan baris (multiplier )
dan untuk setiap kolom ke-j disebut bilangan kolom (multiplier ) sehingga
untuk setiap variabel basis
diperoleh persamaan :
(i)
Cara pengisiannya ditentukan terlebih dahulu salah satu
atau
secara sembarang misalnya
, dengan demikian dengan
menggunakan persamaan (i) dapat diperoleh nilai atau yang lain.
Setelah atau
dapat dihitung:
terisi semua maka untuk semua variabel non basis
(ii)
Selanjutnya, akan diperoleh tabel optimal jika semua
(semua negatif atau nol). Jika tabel belum optimal cara menentukan variabel
yang masuk menjadi basis (Entering Variable) dan Variabel yang keluar
basis (Leaving Variable) caranya sama seperti Metode Batu Loncatan
(Stepping Stone)
Program Linier
| 119
BAB 14
MODEL PENUNJUKAN
A. PENGANTAR
Model ini merupakan penunjukan alokasi dari banyak pekerjaan atau
individu pekerja yang dinyatakan dengan m pekerja yang akan ditunjukan
pada n pekerjaan atau mesin dengan unit pembayaran atau biaya yang
sudah ditentukan. Tujuannya adalah untuk menunjukan setiap pekerja pada
satu mesin dengan memperhatikan total biaya paling rendah. Pekerja
dinyatakan dengan i untuk i = 1,2,...,m yang akan ditunjukan pada mesin
yang dinyatakan dengan j, untuk j = 1,2,...,n dengan unit d pembayaran atau
biaya yang dinyatakan dengan Cij.
Dapat digambarkan juga suatu perusahaan mempunyai m tugas yang
harus diselesaikan secara lengkap dengan baik. Demikian juga diperlukan
paling sedikit tenaga kerja yang dapat menangani tugas-tugas tersebut
dengan berbagai kondisi waktu yang berbeda.
Tenaga kerja ini akan ditujukan kepada setiap tugas dan
memperhatikan pengecilan jumlah waktu seluruhnya dalam penyelesaian
semua tugas m dan setiap tenaga kerja akan diberi satu dan hanya
satu tugas dalam jumlah waktu yang sudah diperhitungkan akan
menguntungkan. Penunjukan ini dapat disamakan dengan berbagai tipe
aktivitas, sedangkan tenaga kerja dapat disamakan dengan berbagai tipe
sumber yang ada, serta waktu bagi tenaga kerja untuk menyelesaikan
tugas dengan baik yang dapat dinyatakan sebagai efektivitas yang
sangat terkait dengan penggunanaan tipe sumber pada kebutuhan
aktivitasnya.
Untuk dapat menerapkan model penunjukan, jumlah sumber-sumber
yang ditugaskan harus sama dengan jumlah tugas yang akan
diselesaikan dan setiap sumber harus ditugaskan hanya untuk satu tugas
saja. Selain itu, model ini hanya bisa diterapkan untuk persoalan minimasi
saja, seperti persoalan meminimumkan total waktu yang diperlukan oleh
sekelompok karyawan untuk mengerjakan tugas yang telah diberikan.
Program Linier
| 125
BAB 15
METODE PERJALANAN SALESMEN
A.
PENGANTAR
Dalam dunia usaha dan industri, manajemen sering menghadapi
permasalahan yang berhubungan dengan penugasan (Penunjukan)
optimal dari bermacam-macam sumber yang produktif atau personalia yang
mempunyai tingkat efisiensi yang berbeda-beda untuk tugas yang berbedabeda pula.
Salah satu contoh permasalahan yang terjadi adalah :
Seorang sales manager suatu perusahaan akan mengirimkan
salesmen (penjual-penjual) ke empat daerah. Manager ini telah
mendapatkan empat calon yang memiliki kemampuan dan pengalaman
untuk mencapai keuntungan yang sebesar-besarnya. Di bawah ini adalah
tabel yang menunjukkan nilai keuntungan yang dapat dicapainya (dalam
ratusan ribu rupiah) :
A
B
C
D
I
35
27
28
37
II
28
34
29
40
III
35
24
32
33
IV
24
32
25
28
Berdasarkan tabel di atas, berapakah keuntungan terbesar yang dapat
dicapai oleh salesmen dan ke mana sajakah masing-masing salesmen
tersebut ditugaskan?
Persoalan di atas harus diselesaikan sebaik mungkin sehingga
132 |
Program Linier