Academia.eduAcademia.edu
MAKALAH TENTANG SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN PENYELESAIANNYA Di susun untuk memenuhi tugas Mata kuliah : Aljabar Linier Elementer Dosen Pengampu : Ciptianingsari Ayu Vitant, M.Pd. Di susun oleh : 1. Elma Nurfitriyana 2. Meilia Asmaul Khusnah 3. Windhi Pratiwi 4. Sayyidatul Fitri Zamrotun Nisa’ KELAS PM-1 JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PESANTREN TINGGI DARUL ULUM (UNIPDU) JOMBANG 2019 KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan tugas makalah yang berjudul Konsep Sistem Persamaan Linear ini tepat pada waktunya. Adpun tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk memenuhi tugas Ibu Ciptianingsari Ayu Vitant, M.Pd. pada bidang studi Pendidikan Matematika mata kuliah Aljabar Linear Elementer.Selain itu, makalah ini juga bertujuan untuk menambah wawasan tentang Sistem Persamaan Linear bagi para pembaca dan juga bagi penulis. Kami mengucapkan terimakasih kepada Ibu Ciptianingsari Ayu Vitant, M.Pd. selaku dosen bidang studi Pendidikan Matematika mata kuliah Aljabar Linear Elementer yang telah memberikan tugas ini sehinggadapat menambah pengetahuan dan wawasan sesuai bidang studi yang saya tekuni. Kami juga mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membagi sebagian pengetahuannya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah kami. Kami menyadari, makalah yang kami tulis masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun akan kami nantikan demi kesempurnaan makalah ini. Jombang, 16 September 2019 Penulis DAFTAR ISI KATA PENGANTAR................................................................................................................................... 2 BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................................................. 4 A. Latar Belakang............................................................................................................................. 4 B. Rumusan Masalah ....................................................................................................................... 4 C. Tujuan ......................................................................................................................................... 4 BAB II PEMBAHASAN............................................................................................................................... 5 A. Sistem Persamaan Linier ............................................................................................................. 5 B. Metode penyelesaian system persamaan linier ......................................................................... 6 BAB III PENUTUP ................................................................................................................................... 10 A. Kesimpulan................................................................................................................................ 10 B. Saran ......................................................................................................................................... 10 DAFTAR PUSTAKA…………………………………………………………………………………………………………………………….10 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Dalam era informasi dan era globalisasi dewasa ini yang diwarnai oleh persaingan yang ketat dalam penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi (IPTEK), sangat membutuhkan manusiamanusia cerdas, terampil dan profesional yang sanggup menguasai sains dan teknologi. Soedjadi (1994 : 1) mengemukakan bahwa untuk menghadapi abad 21 diperkirakan akan diwarnai oleh persaingan, bangsa Indonesia mutlak perlu memiliki warga yang bermutu dan berkualitas tinggi.Dalam upaya pengembangan kualitas manusia Indonesia, patokan minimal yang harus dicapai adalah tumbuhnya kemampuan berpikir logis dan sikap kemandirian dalam diri peserta didik. Untuk itu, sistem pembelajaran yang mengutamakan matematika dan ilmu pengetahuan lainnya menjadi prasyarat bagi proses pendidikan untuk membentuk manusia Indonesia yang mampu menghadapi dan mengantisipasi tantangan di masa yang akan datang (Semiawan, 1991 : 35). B. Rumusan Masalah 1. Sistem persamaan linier 2. Metode penyelesaian sistem persamaan linier C. Tujuan Menguraikan system persamaan linier dan penyelesaiannya menggunakan metode eliminasi, subtitusi, grafik dan gabungan. BAB II PEMBAHASAN A. Sistem Persamaan Linier Kalimat Terbuka , yaitu suatu kalimat yang memiliki atau memuat variabel . Persamaan , yaitu kalimat terbuka yang menyatakan hubugan sama dengan ( = ) . Persamaan Linier , yaitu suatu persamaan yang setiap sukunya mengandung konstanta dengan variabelnya berderajat satu ( tunggal ) dan persamaan ini , dapat digambarkan dalam sebuah grafik dalam sistem koordinat kartesius . Suatu Persamaan akan tetap bernilai benar atau EKWIVALENT ( < = > ) , Apabila ruas kiri dan ruas kanan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama . Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk a1x+a2y=b Persamaan semacam ini kita namakan persamaan linier dalam peubah(variabel) x dan peubah y. Secara lebih umum, kita mendefinisikan persamaan linier dalam n peubah x1, x2,...... xn sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a1x1+a2x2+..... +anxn=b Dimana a1, a2,....an dan b adalah konstanta-konstanta riil. Bentuk umum persamaan linier : y = mx + b Contoh bentuk persamaan linier : y = -x + 5y = -05x + 2 Contoh bentuk grafik persamaan linier Dari gambar di atas , dapat kita simpulkan bahwasannya m atau gradiennya = 0,5 dan b atau titik potong sumbu y = 2( pada garis merah ). Contoh Berikut ini kita berikan persamaan-persamaan linier : x+y=7 x1-2x2-3x3+x4=7 y=1/2x+3z+1 x1+x2+...+xn=1 Perhatikanlah bahwa persamaan linier tidak melibatkan sesuatu hasil kali tau akar variabel. Semua variabel hanya terdapat sampa dengan angka pertama dan tidak muncul sebagai argumen untuk fungsi trigonomerik, fungsi logaritmik, atau fungsi eksponensial. B. Metode penyelesaian system persamaan linier Ada beberapa metode yang dapat digunakan dalam menyelesaikan sebuah permasalahan persamaan linier , metode – metode tersebut adalah a. Metode Substitusi b. Metode Eliminasi c. Metode Campuran ( eliminasi dan substitusi ) d. Metode grafik. Berikut adalah penjelasan lebih rinci mengenai metode penyelesaian persamaan linier : 1. Metode Substitusi Metode subsitusi yaitu metode atau cara menyelesaikan persamaan linier dengan mengganti salah satu peubah dari suatu persamaan dengan peubah yang diperoleh dari persamaan linier yang lainnya . Untuk lebih jelasnya lagi , perhatikan contoh berikut ini : Diketahui persamaan x + 3y = 7 dan 2x + 2y = 6 , tentukan Himpunan Penyelesaiannya? Penyelesaiannya : x + 3y = 7 < = > x = -3y + 7 . . . .( 1 ) Lalu , masukkan persamaan ( 1 ) ke dalam persamaan ( 2 ) untuk mencari nilai y 2x + 2y = 6 < = > 2 ( -3y + 7 ) + 2y = 6 < = > -6y + 14 + 2y = 6 < = > -6y + 2y = 6 – 14 < = > -4y = – 8 <=>y=2 Gunakan persamaan antara persamaan ( 1 ) atau ( 2 ) untuk mencari nilai x x + 3y = 7 <=>x+3(2)=7 <=>x+6=7 <=>x=1 Jadi , HP = { 1 , 2 } 2. Meode Eliminasi Metode Eliminasi , yaitu metode penyelesaian sistem persamaan linir dengan cara mengeliminasi atau menghilangkan salah satu peubah dengan menambahkan atau mengurangkan dengan menyamakan koefisien yang akan dihilangkan tanpa memperhatikan nilai positif atau negatif . Apabila peubah yang akan dihilangkan bertanda sama , maka untuk mengeliminasi menggunakan sistem operasi pengurangan . Dan sebaliknya apabila peubah yang akan dihilangkan bertanda berbeda , maka untuk mengaliminasi menggunakan operasi penjumlahan . Utuk lebih jelasnya , perhatikan contoh berikut ini : Masih dengan contoh yang sama , namun dengan cara yang berbeda yaitu : Diketahui dua persamaan x + 3y = 7 dan 2x + 2y = 6 , tentukan HP dari persamaan tersebut ! Langkah pertama adalah lakukan eliminasi dengan mengurangkan untuk menghilangkan peubah atau koefisien x untuk mengetahui nilai y 2x + 2y = 6 : 2 <=>x+y=3 lalu , lakukan x + 3y = 7 x+y=3 _ 2y = 4 y=2 Langkah selanjutnya adalah lakukan eliminasi dengan mengurangkan untuk menghilangkan peubah atau koefisien y untuk mengetahui nilai x 2x + 2y = 6 | x3 | < = > 6x + 6y = 18 x + 3y = 7 | x 2 | < = > 2x + 6 y = 14 _ 4x + 0 = 4 x=1 Jadi , Himpunan penyelesaian yang dihasilkan sama yaitu HP = { 1 , 2 } 3. Metode Campuran ( antara eliminasi dan substitusi ) Yang dimaksud dari metode ini , yaitu kita dalam mencari himpunan penyelesaian menggunakan dua metode boleh gunakan eliminasi terlebih dahulu setelah diketahui salah satu nilai peubah baik itu x atau y maka selanjutnya masukkan ke dalam metode substitusi atau sebaliknya . Untuk lebih jelasnya , perhatikan contoh berikut : Diketahui dua persamaan x + 3y = 7 dan 2x + 2y = 6 , tentukan HP dari persamaan tersebut ! Langkah pertama lakukan metode eliminasi , untuk mecari nilai x 2x + 2y = 6 | x3 | < = > 6x + 6y = 18 x + 3y = 7 | x 2 | < = > 2x + 6 y = 14 _ 4x + 0 = 4 x=1 Selanjutnya substitusikan nilai x ke dalam salah satu persamaan : x + 3y = 7 < = > 1 + 3y = 7 < = > 3y = 7 – 1 < = > 3y = 6 <=>y=2 Maka hasilnyapun sama yaitu HP = { 1 , 2 } 4. Metode Grafik Metode grafik , yaitu dengan menggambarkan dua persamaan pada grafik kartesius , dan himpunan penyelesaiannya dihasilkan dari titik potong dari kedua garis tersebut . Yang perlu diperhatikan yaitu ketika menggambar titik sumbu kartesiusnya harus sama dan konsisten . Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar grafik berikut : Gambarlah grafik persamaan x + 3y = 7 dan 2x + 2y = 6 , dan tentukan titik potongnya Dari gambar di atas , maka kita dapat melihat bahwa titik potongnya berada pada titik { 1 , 2 } dan dengan kata lain HP = { 1 , 2 } BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Persamaan Linier , yaitu suatu persamaan yang setiap sukunya mengandung konstanta dengan variabelnya berderajat satu ( tunggal ) dan persamaan ini , dapat digambarkan dalam sebuah grafik dalam sistem koordinat kartesius. Metode penyelesaiannya menggunakan 4 metode yaitu eliminasi, subtitusi, grafik, dan gabungan. B. Saran Alangkah baiknya kita mengenal Matematika dulu sebelum kita menganggap Matematika itu sulit, karena bila kita telah mengenal Matematika dengan baik dan menikmati bagaimana Matematika itu bekerja akan terasa bahwa Matematika itu tidaklah seburuk apa yang kita pikirkan. DAFTAR PUSTAKA https://rumusrumus.com/sistem-persamaan-linier https://adisukron12.blogspot.com/2015/10/makalah-materi-sistem-persamaan-linier.html