Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Disusun bersama David Jia

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang tingkat tertingginya adalah 2 (kuadrat). Ada tiga cara utama untuk menyelesaikan persamaan kuadrat: memfaktorkan persamaan kuadrat jika bisa, menggunakan rumus kuadrat, atau melengkapkan kuadrat. Jika kamu ingin menguasai ketiga cara ini, ikuti langkah-langkah berikut.

Metode 1

Metode 1 dari 3:

Memfaktorkan Persamaan

Unduh PDF

1
Gabungkan semua variabel yang sama dan pindahkan ke salah satu sisi persamaan. Langkah pertama untuk memfaktorkan persamaan adalah dengan memindahkan semua variabel yang sama ke satu sisi persamaan, dengan x²-nya bernilai positif. Untuk menggabungkan variabel, tambahkan atau kurangkan semua variabel x² , x, dan konstanta (bilangan bulat), memindahkannya ke sisi lain persamaan sehingga tidak ada yang tersisa di sisi yang lainnya. Saat sisi yang lain tidak memiliki sisa variabel, tulislah 0 di sebelah tanda sama dengan. Inilah cara melakukannya:^{[1]
X
Teliti sumber}
- 2x² - 8x - 4 = 3x - x²
- 2x² +x² - 8x -3x - 4 = 0
- 3x² - 11x - 4 = 0
2
Untuk memfaktorkan persamaan ini, kamu harus menggunakan faktor x² (3) dan faktor konstanta (-4), mengalikannya dan menambahkannya agar sesuai dengan variabel di tengah, (-11). Inilah cara melakukannya:
- 3x² hanya memiliki satu faktor yang mungkin yaitu, 3x dan x, kamu bisa menuliskannya dalam tanda kurung: (3x +/- ? )(x +/- ?) = 0.
- Kemudian, gunakan proses eliminasi untuk memasukkan faktor 4 untuk menemukan perkalian yang menghasilkan -11x. Kamu bisa menggunakan perkalian 4 dan 1, atau 2 dan 2 karena keduanya jika dikalikan menghasilkan angka 4. Tetapi ingat, salah satu angkanya harus negatif karena hasilnya -4.
- Cobalah (3x + 1)(x – 4). Saat kamu mengalikannya, hasilnya adalah - 3x² -12x +x -4. Jika kamu menggabungkan variabel -12 x dan x, hasilnya -11x, yang merupakan nilai tengahmu. Kamu baru saja memfaktorkan persamaan kuadrat.
- Sebagai contoh, ayo kita coba memfaktorkan perkalian yang satunya: (3x -2)(x +2) = 3x² +6x -2x -4. Jika kamu menggabungkan variabelnya, hasilnya adalah 3x² -4x -4. Meskipun faktor -2 dan 2 jika dikalikan menghasilkan -4, nilai tengahnya tidak sama karena kamu ingin mendapatkan nilai -11x bukan -4x.
dalam persamaan yang berbeda. Hal ini akan membuatmu menemukan 2 nilai x yang akan membuat persamaanmu bernilai nol. Kamu sudah memfaktorkan persamaanmu, jadi, yang harus kamu lakukan adalah menganggap perhitungan dalam setiap tanda kurung hasilnya sama dengan nol. Dengan demikian, kamu bisa menulis 3x + 1 = 0 dan x – 4 = 0.
4
secara terpisah. Dalam persamaan kuadrat, ada 2 nilai untuk x. Selesaikan setiap persamaan secara terpisah dengan memindahkan variabel dan menuliskan 2 jawaban untuk x, seperti ini:
- Selesaikan 3x + 1 = 0
  - 3x = -1 ..... dengan mengurangi
  - 3x/3 = -1/3 ..... dengan membagi
  - x = -1/3 ..... dengan menyederhanakan
- Selesaikan x - 4 = 0
  - x = 4 ..... dengan mengurangi
- x = (-1/3, 4) ..... dengan membuat beberapa kemungkinan jawaban terpisah, yang berarti x = -1/3 atau x = 4 keduanya mungkin benar.
Dengan demikian diperoleh (3[-1/3] + 1)([-1/3] – 4) ?=? 0 ..... dengan mensubtitusi (-1 + 1)(-4 1/3) ?=? 0 ..... dengan menyederhanakan (0)(-4 1/3) = 0 ..... dengan mengalikan Jadi, 0 = 0 ..... Ya, x = -1/3 benar.
6
Periksa x = 4 dalam (3x + 1)(x - 4) = 0:

Dengan demikian diperoleh (3[4] + 1)([4] – 4) ?=? 0 ..... dengan mensubtitusi (13)(4 – 4) ?=? 0 ..... dengan menyederhanakan (13)(0) = 0 ..... dengan mengalikan Jadi, 0 = 0 ..... Ya, x = 4 juga benar.
- Jadi, setelah diperiksa secara terpisah, kedua jawabannya benar dan bisa digunakan dalam persamaan.
Iklan

Metode 2

Metode 2 dari 3:

Menggunakan Rumus Kuadrat

Unduh PDF

1
Gabungkan semua variabel yang sama dan pindahkan ke salah satu sisi persamaan. Pindahkan semua variabel ke salah satu sisi persamaan, dengan nilai variabel x² positif. Tuliskan variabel dengan tingkat eksponen berurutan, sehingga x² ditulis terlebih dahulu, diikuti dengan variabel , dan konstanta. Inilah cara melakukannya:
- 4x² - 5x - 13 = x² -5
- 4x² - x² - 5x - 13 +5 = 0
- 3x² - 5x - 8 = 0
Rumus kuadrat adalah: ${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ^{[2]
X
Teliti sumber}
Variabel a adalah koefisien x², b adalah koefisen dari variabel x, dan c adalah konstanta. Untuk persamaan 3x² -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5, dan c = -8. Tuliskan ketiganya.
4
Gantilah nilai a, b, dan c dalam persamaan. Setelah kamu mengetahui ketiga nilai variabel, masukkan ke dalam persamaan seperti ini:
- {-b +/-√ (b² - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)² - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3)
5
Lakukan perhitungan. Setelah kamu memasukkan angkanya, lakukan perhitungan matematika untuk menyederhanakan tanda positif atau negatif, mengalikan, atau mengkuadratkan variabel yang tersisa. Inilah cara melakukannya:
- {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Jika angka di bawah tanda akar adalah kuadrat sempurna, kamu akan mendapatkan bilangan cacah. Jika angkanya bukan kuadrat sempurna, sederhanakan ke bentuk akar paling sederhana. Jika angkanya negatif dan kamu yakin memang seharusnya negatif, nilai akarnya akan rumit. Dalam contoh ini, √(121) = 11. Kamu bisa menulis x = (5 +/- 11)/6.
7
Carilah jawaban positif dan negatifnya. Jika kamu sudah menghilangkan tanda akar kuadratnya, kamu bisa mengerjakannya hingga menemukan hasil positif dan negatif untuk x. Sekarang, kamu memiliki (5 +/- 11)/6, kamu bisa menulis 2 jawaban:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
8
Selesaikan jawaban positif dan negatifnya. Lakukan perhitungan matematika:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
9
Sederhanakan. Untuk menyederhanakan setiap jawaban, bagilah dengan angka terbesar yang bisa membagi kedua angka. Bagilah pecahan pertama dengan angka 2 dan bagilah yang kedua dengan 6, dan kamu sudah menemukan nilai x.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Iklan

Metode 3

Metode 3 dari 3:

Melengkapkan Kuadrat

Unduh PDF

1
Pindahkan semua variabel ke salah satu sisi persamaan. Pastikan bahwa a atau variabel x² positif. Inilah cara melakukannya: ^{[3]
X
Teliti sumber}
- 2x² - 9 = 12x =
- 2x² - 12x - 9 = 0
  - Dalam persamaan ini, variabel a adalah 2, variabel b adalah -12, dan variabel c adalah -9.
2
Pindahkan variabel atau konstanta c ke sisi yang lain. Konstanta adalah istilah numerik tanpa variabel. Pindahkan ke sisi kanan persamaan:
- 2x² - 12x - 9 = 0
- 2x² - 12x = 9
3
Bagilah kedua sisi dengan koefisien a atau variabel x². Jika x² tidak memiliki variabel dan koefisiennya 1, kamu bisa melewati langkah ini. Dalam kasus ini, kamu harus membagi semua variabel dengan 2, seperti ini:
- 2x²/2 - 12x/2 = 9/2 =
- x² - 6x = 9/2
4
Bagilah b dengan 2, kuadratkan, dan tambahkan hasilnya ke kedua sisi. Nilai b dalam contoh ini adalah -6. Inilah cara melakukannya:
- -6/2 = -3 =
- (-3)² = 9 =
- x² - 6x + 9 = 9/2 + 9
Faktorkan variabel di sisi kiri untuk mendapatkan (x-3)(x-3) atau (x-3)². Tambahkan nilainya di sisi kanan untuk mendapatkan 9/2 + 9 atau 9/2 + 18/2, yang hasilnya 27/2.
Temukan akar kuadrat untuk kedua sisi. Akar kuadrat dari (x-3)² adalah (x-3). Kamu bisa menuliskan akar kuadrat dari 27/2 sebagai ±√(27/2). Dengan demikian, x - 3 = ±√(27/2).
7
Sederhanakan akar dan carilah nilai x. Untuk menyederhanakan ±√(27/2), carilah kuadrat sempurna di antara angka 27 dan 2 atau faktor angka tersebut. Kuadrat sempurna 9 dapat ditemukan dalam 27 karena 9 x 3 = 27. Untuk mengeluarkan 9 dari tanda akar, keluarkan angka 9 dari akar dan tulislah angka 3, akar kuadratnya, di luar tanda akar. Tinggalkan sisanya 3 di bagian pembilang pecahan di bawah tanda akar, karena faktor 27 tidak semua bisa dikeluarkan, dan tuliskan angka 2 di bawah. Kemudian, pindahkan konstanta 3 di sisi kiri persamaan ke sisi kanan, dan tuliskan kedua penyelesaianmu untuk x:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
Iklan

Tips

Seperti yang bisa kamu lihat, tanda akar tidak akan menghilang sepenuhnya. Dengan demikian, variabel pembilang tidak bisa digabungkan (karena tidak sama). Tidak ada gunanya untuk memisahkannya menjadi positif atau negatif. Namun, kita bisa membaginya dengan faktor yang sama, tetapi HANYA jika faktornya sama untuk kedua konstanta DAN koefisien akar.
Jika angka di bawah akar kuadrat bukanlah kuadrat sempurna, maka beberapa langkah terakhir menjadi sedikit berbeda. Berikut contohnya:
Jika b adalah bilangan genap, rumusnya menjadi: {-(b/2) +/- √(b/2)-ac}/a.