MODUL MATEMATIKA PROGRAM LINIER

Oleh: Tri Ratna M, S. Pd.
i

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

Kata Pengantar

Puji syukur saya ucapkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas karunia-Nya
sehingga dapat menyelesaikan penyusunan modul bahan ajar matematika ini. Modul ini
adalah sebagai bahan pendamping belajar bagi peserta didik yang saat ini belajar mandiri dari
rumah.

Matematika adalah hasil abstraksi (pemikiran) manusia terhadap objek- objek di
sekitar kita dan menyelesaikan maslah yang terjadi dalam kehidupan, sehingga dalam
mempelajrainya kamu harus meikirkannya kembali, bagaimana pemikiran para penciptanya
terdahulu. Belajar matematika sangat berguna bagi kehidupan. Cobalah membaca dan pahami
materinya serta terapkan untuk menyelesaikan masalah- masalah kehidupan di lingkunganmu.
Modul ini diawali dengan masalah yang bersumber pada kehidupan nyata terkait
dengan materi yang akan diajarkan. Tujuannya agar kamu menemukan knsep dan prinsip
matematika melalui pemecahan masalah yang diajukan dan mendalami sifat- sifat yang
terkandung di dalamnya yang sangat berguna untuk memecahkan masalah di kehidupan
nyata.
Materi dan tugas / kegiatan dalam buku ini disusun berdasarkan kompetensi
pengetahuan dan keterampilan yang telah ditetapkan demi terciptanya tujuan belajar.
Penyajian materi dan tugas/ kegiatan dalam buku ini berorientasi kepada peserta didik dan
disusun sekomunikatif mungkin sesuai tingkat pemahaman siswa. Melalui modul ini, peserta
didik di ajak untuk aktif, kreatif, berpikir ilmiah, dan mengembangkan sikap spiritual dan
sosial melalui kegiatan belajar. Dengan demikian kompetensi tersebut dapat tercapai di akhir
pembelajaran.
Saya berharap modul ini dapat diterima dengan baik, menjadi pendamping dan
pendukung kegiatan belajar, dan member manfaat seluas- luasnya untuk peserta didik dan
guru di dunia pendidikan. Sebagai umpan balik saya menerima kriti dan saran demi
peningkatan kualitas modul ini.
Terima kasih.

Grobogan,
Penulis

ii

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

DAFTAR ISI

Cover ........................................................................................................... i

Kata Pengantar.............................................................................................. ii

Daftar Isi ................................................................................................................. iii

Glosarium ..................................................................................................... iv

Peta Konsep .................................................................................................. v

BAB 1 Pendahuluan

A. Deskripsi.............................................................................................. 1

B. Prasyarat............................................................................................... 1

C. Petunjuk penggunaan Modul................................................................ 1

D. Tujuan Akhir Hasil Belajar.................................................................. 2

E. Langkah- Langkah dalam Pembelajaran............................................. 2

BAB II Pembelajaran 6
A. Kegiatan Belajar 1 6
a. Tujuan Pembelajaran................................................................ 11
b. Uraian Materi........................................................................... 12
c. Rangkuman .............................................................................
d. Tugas........................................................................................

B. Kegiatan Belajar 2 13
a. Tujuan Pembelajaran................................................................ 13
b. Uraian Materi........................................................................... 16
c. Rangkuman.............................................................................. 17
d. Tugas........................................................................................

C. Kegiatan Belajar 3 18
a. Tujuan Pembelajaran................................................................ 19
b. Uraian Materi............................................................................ 23
c. Rangkuman............................................................................... 24
d. Tugas........................................................................................ 25
Evaluasi Pembelajaran.....................................................................
29
BAB 3 Penutup
Daftar Pustaka.................................................................................................

iii

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

GLOSARIUM

➢ Kendala
➢ Optimum
➢ Daerah penyelesaian
➢ Garis selidik
➢ Titik optimum

iv

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

PETA Sistem Persamaan dan Materi Prasyarat
KONSEP Pertidaksamaan

Masalah Program Linear
Autentik
Masalah
Program Linear

Daerah Penyelesaian Fungsi Objektif
Kendala Program
Linear

• Metode Uji Titik Pojok
• Metode Garis Selidik

Solusi Masalah Program
Linear

Nilai Minimum Nilai Maksimum

v

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

BAB 1
PENDAHULUAN

A
Deskripsi

Modul ini menyajika standar kompetensi “ Menyelesaikan masalah program
linear”. Di dalamnya akan dibahas tentang bagaimana : menggambar grafik sistem
pertidaksamaan linear, merancang atau menyusun model matematika, menentukan daerah
penyelesaian dari kendala kontekstual, menentukan nilai optimu yaitu minimum atau
maksimum dari suatu kendala. Materi ini harus Anda kuasai karena bisa diaplikasikan dalam
penyelasaian masalah dalam kehidupan sehari- hari.

B
Prasyarat

Untuk mempelajari modul ini, Anda harus sudah mempelajarai tentang:
1. Persamaan linear dua variable
2. Sistem persamaan linear dua variable

C

Petunjuk Penggunaan Modul

Modul ini berisi standar kompetensi menyelesaiakan masalah program linear.
1. Penjelasan Bagi Peserta Didik

Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda mampu:
a. Menggambar grafik sistem pertidaksamaan linear
b. Menyusun model matematika dari suatu masalah kontekstual
c. Menentukan daerah hasil penyelesaian dari suatu kendala
d. Menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum) dari suatu kendala
2. Peran Serta Guru
Dalam kegiatan belajar dengan menggunakan sistem modul ini, Guru memiliki
peran sebagai berikut:

1

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

a. Membimbing peserta didik dalam merencanakan proses belajar
b. Membimbing peserta didik dalam memahami konsep dasar materi maupun

contoh soal yang ada di dalam modul
c. Membimbing siswa dalam meneyelasaikan soal- soal latihan
d. Melakukan proses penilaian terhadap peserta didik dan mencatat hasil

penilaian serta menganalisisnya
e. Mengadakan program remedial bagi peserta didik yang kurang dari KKM
f. Mengadakan program pengayaan bagi peserta didik yang sudah mendapat nilai

di atas KKM.

D
Tujuan Akhir Hasil Belajar

Setelah mempelajari modul ini, diharapkan peserta didik mampu untuk
menyelesaikan masalah berkaitan dengan program linear dari permasalahan yang
kontekstual sesuai dengan masalah pada kehidupan sehari- hari

E
Langkah- Langkah Dalam Pembelajaran

Dalam modul ini pembelajaran dilakukan dengan pendekatan saintifik. Adapun
langkah – langkah dalam pembelajaran saintifik adalah sebagai berikut.

1.Mengamati

5.
menyimpulkan

2. Menanya

Saintifik

4. 3. Mengasosiasi
mengkomunikasikan
2
Bahan Ajar Program Linear Kelas X

Informasi Penting

Tahukah kamu, apa itu Program Linear?
Program Linear adalah suatu program yang digunakan sebagai
metode penentuan nilai optimum dari suatu peroalan linear. Nilai
Optimum (maksimum atau minimum) dapat diperoleh dari nilai
dalam himpunan penyelesaian persoalan linear.

Masih Ingatkah?

Pada pembelajaran sebelumnya kalian telah mempelajari tentang
persamaan dan sitem persamaan linear dua variable. Dalam
penyelesaian sistem persamaan linear dua variable kalian telah
mempelajarai bagaimana cara menentukan himpunan
penyelesaiannya dengan menggunakan metode grafik. Itulah
prasyarat kalian akan mempelajari program linear.

Pernahkah kalian mencari tahu tentang keuntungan seorang pedagang kue atau
penjual makanan tentang berapa keuntungan yang didapatkan dari hasil
penjualannya.

3

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

Kompetensi Dasar

KI KD IPK

KI 3. Memahami, menerapkan, 3.5Menentukan nilai 3.5.1 Menyusun sistem
3.5.2
menganalisis, dan mengevaluasi maksimum dan minimum pertidaksamaan linear
3.5.3
tentang pengetahuan faktual, permasalahan kontekstual 3.5.4 dua variable

konseptual, operasional dasar, dan yang berkaitan dengan 4.5.1 Menentukan daerah
4.5.2
metakognitif sesuai dengan bidang program linear dua variabel penyelesaian dari

dan lingkup kajian matematika pertidaksamaan

pada tingkat teknis, spesifik, detil, 4.5 Menyelesaikan masalah pertidaksamaan linear
kontekstual yang berkaitan
dan kompleks, berkenaan dengan dengan program linear dua dua variable
variabel
ilmu pengetahuan, teknologi, seni, Menyusun model

budaya, dan humaniora dalam matematika sesuai

konteks pengembangan potensi diri kendala yang diberikan

sebagai bagian dari keluarga, Menentukan nilai

sekolah, dunia kerja, warga maksimum atau

masyarakat nasional, regional, dan minimum dari

internasional. permasalahan yang

KI 4. Melaksanakan tugas spesifik diberikan

dengan menggunakan alat, Menyusun model

informasi, dan prosedur kerja yang matematika dari

lazim dilakukan serta memecahkan masalah konstektua

masalah sesuai dengan bidang Menentukan himpunan

kajian matematika Menampilkan penyelesaian dari

kinerja di bawah bimbingan masalah konstektual

dengan mutu dan kuantitas yang yang diberikan

terukur sesuai dengan standar

kompetensi kerja. Menunjukkan

keterampilan menalar, mengolah,

dan menyaji secara efektif, kreatif,

produktif, kritis, mandiri,

kolaboratif, komunikatif, dan

solutif dalam ranah abstrak terkait

dengan pengembangan dari yang

dipelajarinya di sekolah, serta

mampu melaksanakan tugas

spesifik di bawah pengawasan

langsung. Menunjukkan

keterampilan mempersepsi,

kesiapan, meniru, membiasakan,

gerak mahir, menjadikan gerak

4

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

alami dalam ranah konkret terkait
dengan pengembangan dari yang
dipelajarinya di sekolah, serta
mampu melaksanakan tugas
spesifik di bawah pengawasan
langsung.

5

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

BAB ii
PEMBELAJARAN

Kegiatan Belajar 1 Pertidaksamaan dan Sistem
Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

A. Tujuan Pembelajaran

Pada Kegiatan Pembelajaran ini diharapkan peserta didik dapat menggambar grafik
dari pertidaksamaan dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel

B. Uraian Materi

Coba lihat gambar di atas. 6
Terjadi kegiatan apakah pada gambar di atas?
Pernahkan kalian melakukan aktivitas seperti
tampak pada gambar di atas?

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

Mari kita simak penjelasan berikut mengenai gambar di atas. Kalian pasti pernah ya
berdesakan untuk membeli peralatan masuk sekolah. Peralatan apa saja yang biasa
kalian siapkan untuk menyambut awal tahun pelajaran? Ya betul sekali, pasti yang
kalian siapkan adalah buku tulis, pulpen, pensil, dan alat bantu yang lain. Nah
kegiatan di atas terjadi di sebuah toko alat tulis yang sangat ramai. Kira- kira
bagaimana jika kalian di suruh untuk belanja sendiri dengan diberikan uang oleh
orang tua tapi dengan syarat harus ada kembaliannya, nah kira- kira kalian bisa
tidak memperkirakan barag apa saja yang bisa kalian beli jika hanya diperbolehkan
membeli 2 jenis barang saja? Untuk bisa mendapatkan jawabannya mari kita
pelajari materi di bawah ini!!!!!!!!!!

Ingat Kembali!!!!!!!!!!!!!
Persamaan Linear dua
Variabel dan sistem
Persamaan Linear dua

1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Konsep persamaan dan sistem persamaan linear dua variable sudah kamu

pelajari. Dalam pertidaksamaa, prinsip yang ada pada persamaan juga kita gunakan
dalam menyelesaikan pertidaksamaan atau sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
Prinsip yang dimaksud adalah menentukan nilai variable yang memenuhi
pertidaksamaan atau sistem pertidaksamaan linear tersebut.

Definisi
Pertidaksamaan Linear dua variable adalah pertidaksamaan yang berbentuk
ax + by  c
ax + by  c
ax + by  c
ax + by  c
a, b, c  
x, y adalah variabel

Dalam kehidupan sehari – hari, banyak kita jumpai kasus yang melibatkan pembatasan
suatu hal. Contohnya, lowongan kerja mensyaratkan pelamar dengan batas usia
tertentu, batas nilai cukup seorang pelajar agar dinyatakan lulus ujian, dan batas
bersih suatu kendaraan yang diperbolehkan oleh dinas perhubungan. Perhatikan
masalah berikut:

7

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

Masalah 1

Sani berbelanja di toko peralatan sekolah dengan uang yang tersedia
Rp240.000,00. Harga setiap barang di took tersebut telah tersedia di daftar
harga barang sehingga Santi dapat memperkirakan peralatan sekoalh apa saja
yang ia sanggup dia beli dengan uang yang dia miliki. Berdasarkan daftar
harga, jika Santi membeli 2 seragam sekolah dan 3 buku maka dia masih
mendapatkan uang kembalian. Dapatkah kamu memodelkan harga belanjaan
Santi tersebut?

Alternatif Penyelesaian:

Dengan memisalkan harga seragam sekolah adalah = x dan harga buku adalah = y
Maka permasalahan diatas dapat dimodelkan sebagai berikut:
Santi membeli 2 seragam sekolah dan 3 buku dan mendapatkan uang kembalian maka
mempunyai arti :
2x + 3y  240.000

Kemudian menggambarkan pertidaksamaan yang sudah ada dalam bidang kartesius
2x + 3y  240.000
Langkah –langkah menggambar grafik tersebut adalah
a. Merubah pertidaksamaan menjadi persamaan

2x + 3y = 240.000

b. Menentukan titik potong
➢ Titik potong terhadap sumbu X (syarat y= 0)
➢ Titik potong terhadap sumbu Y (syarat x= 0)

x0 120.000

y 80.000 0

(x,y) (0,80.000) (120.000,0)

➢ Menggambar Grafik

8

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

Keterangan Gambar:

a. Daerah yang di arsir adalah daerah Himpunan Penyelesaian.

Cara menentukan daerah penyelesaiannya yaitu dengan misalkan mengambil

titik (0,0) jika titik (0,0) disubstitusikan ke dalam pertidaksamaan maka akan
2x + 3y  240.000

menghasilkan 0 240.000 menghsilkan pernyataan yang bernilai Benar,

maka daerah yang menuju (0,0 ) diarsir dan merupakan daerah himpunan

penyelesaian.
b. Garis putus- putus terjadi karena tanda pertidaksamaannya adalah “<”

2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sistem pertidaksamaan linear dua variable adalah suatu sistem (gabungan dua atau

lebih) pertidaksamaan linear yang memuat dua variable. Himpunan penyelesaian dari

sistem pertidaksamaan linear dua variable merupakan irisan atau interseksi dari

himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear yang terdapat pada sistem

pertidaksamaan itu. Dalam bentuk grafik pada bidang koordinat , himpunan

penyelesaian itu berupa daerah yang dibatasi oleh garis- garis dari sistem persamaan

linearnya.

Gambarlah daerah himpunan penyelesaian sistem petidaksamaan linear berikut:

x + y  7
4x + 3y  24
x, y  0

Jawab:

Titik potong terhadap sumbu koordinat adalah sebagai berikut:

X0 7

Y7 0

(x, y) (0,7) (7,0)

9

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

X 0 6
Y 8 0
(x, y) (0,8) (6,0)

Titik-titik tersebut digambar pada bidang koordinat sehingga menjadi sebagai berikut:

Daerah yang diarsir merupakan daerah himpunan penyelesaian. Cara menentukan

himpunan penyelesaian adalah dengan menggunakan titik uji yang dimasukkan ke

pertidaksamaan.
➢ Diambil titik uji (0,0) pada pertidaksamaan pertama
x+ y7

0+07 karena menghasilkan pernyataan benar maka arsiran menuju (0,0)

0  7(Benar )

➢ Diambil titik uji (0,0) pada pertidaksamaan kedua
4x + 3y  24

4.0 + 3.0  24 karena menghasilkan pernyataan benar maka arsiran menuju (0,0

0  24(Benar )

➢ Untuk x  0 maka arisran menuju sumbu X positif
➢ Untuk y  0 maka arisran menuju sumbu Y positif

10

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

C. Rangkuman

Menggambar grafik himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variable
dan sistem pertidaksamaan linear dua variable yaitu dengan menggambar grafik kemudian
mengambil titik uji untuk menentukan daerah yang merupakan penyelesaiannya.

11

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

D. Latihan Soal

Latihan soal 1
1. Gambarkanlah grafik himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:

a. − 2  y  0

b. 2x + 3y  18

c. x − 3y  21

2. Gambarkanlah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut
2x + y  24
a.

 x5

4x − 5y  30

b.  10  x  30

 10  y  30


3. Diketahui grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan seperti gambar di

bawah ini. Tentukanlah sistem pertidaksamaan yang memenuhi grafik tersebut

12

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

Kegiatan Belajar 2

Model Matematika

A. Tujuan Pembelajaran
Pada kegiatan pembelajaran ini diharapkan peserta didik dapat menyusun atau
merancang model matematika dari suatu permasalahan kontekstual.

B. Uraian Materi

13

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

Setelah melihat gambar di atas apakah ada
informasi atau sesuatu yang Anda pikirkan
terkait pembelajaran model matematika ini?

Setelah melihat gambar di atas, menurut kalian informasi apa saja yang kalian
dapat? Iya betul, itu adalah donat serta roti goreng yang pembuatannya dengan
bahan yang sama yaitu dari tepung dan telur. Kemudian ada etalase sederhana,
apa gunanya ya kira- kira. Tentu saja etalase tersebut untuk menempatka n donut
dan roti goreng, kan tetapi tentu saja etalase hanya dapat memuat hasil produksi
dengan terbatas. itulah sedikit contoh dari kendala yang ada. Nah akan tetapi,
apa yang akan kita bahas mengenai hal tersebut, kalian nanti akan belajar
mengenai penyusunan atau perancangan model matematika dari suatu
permasalahan kontekstual, seperti gambar di atas. Mari belajar!!!!!!!!

Pada kegiatan pembelajaran yang kedua ini kalian akan mempelajari tentang model
matematika, apa itu model matematika silahkan baca uraian materi di bawah ini.

Model matematika adalah pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.
Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat- kalimat
pernyataan umum, kemudian diubah kedalam sebuah model matematika. Model
matematika dari masalah program linear terdiri atas dua bagian sebagai berikut.

14

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

1. Sistem pertidaksamaan linear dua peubah merupakan bagian kendala- kendala yang
harus dipenuhi oleh peubah x dan y

2. Fungsi sasararan / fungsi objektif/ fungsi tujuan yang berbentuk f(x,y)= ax +by
merupakan bagian yang akan dioptimalkan (dimaksimalkan atau diminimalkan)

Contoh:
Seseorang pedagang paling sedikit menyewa 28 kendaraan untuk jenis truk dan colt
dengan jumlah yang diangkut sebanyak 272 karung. Sebuah truk dapat mengangkut tidak
lebih dari 14 karung dan sebuah colt dapat mengangkut tidak lebih dari 8 karung. Ongkos
sewa sebuah truk Rp500.000,00 dan Colt Rp300.000,00. Tentukan model matematika
dari permasalahan tersebut.

Penyelesaian:

Misalkan:
Banyaknya truk = x
Banyaknya colt = y

Jenis Banyak Muatan Ongkos

Truk x 14 500.000

Colt y 8 300.000

Jumlah 28 272

Model Matematika
1. Kendala yang pertama yaitu bahwa paling sedikit kendaraan yang disewa adalah 28

artinya tandanya  jadi pertidaksamaan yang pertama adalah x + y  28

2. Kendala yang kedua yaitu bahwa muatan yang diangkut hanyalah 272 karung sehingga
14x + 8y  272

pertidaksamaan nya yaitu 7x + 4y  136

3. Yang ketiga banyaknya truk pasti bilangan positif x  0

4. Yang keempat banyaknya colt pasti bilangan positif y  0

5. Fungsi objektif atau fungsi tujuan (x,y) = 500.000 x + 300.000 y

Jadi, Model matematika dari permasalah di atas adalah sebagai berikut

x + y  28
14x + 8 y  272  7x + 4 y  136

x0
y0
Fungsi objektif : f (x,y) = 500.000 x + 300.000 y

15

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

C. Rangkuman

Model Matematika adalah rumusan dalam bahasa matematika yang diperoleh dari suatu
permasalahan program linear.
Fungsi objektif adalah fungsi tujuan utama untuk memaksimumkan atau meminimumkan
fungsi.

16

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

D. Tugas

1. Perusahaan hendak memproduksi barang jenis A seharga Rp500.000,00 memerlukan
bahan baku 20 kg dan waktu kerja mesin 24 jam. Produksi barang B seharga
Rp700.000,00 memerlukan bahan baku 30 kg dan waktu kerja mesin 18 jam. Masing-
masing jenis barang yang didapat dibuat selama 720 jam waktu kerja mesin dan 750
kg bahan baku. Susunlah model matematika dari permasalahan tersebut.

2. Seorang pemilik took roti yang rajin, menjual roti pisang dan roti coklat. Toko roti
hanya dapat memuat 400 bungkus roti. Satu bungkus roti pisang yang dibeli dengan
harga Rp2.500,00 dijual dengan harga Rp3.000,00, sedangkan satu bungkus roti coklat
yang dibeli dengan harga Rp2.000,00 dijual dengan harga Rp2.250,00. Modal yang
dipunyai pemilik took tersebut sebanyak Rp875.000,00. Buatlah model matematika
dari permasalahan tersebut.

3. Seorang petani sangat tekun dan ulet untuk merawat tanamannya dengan baik. Dia
ingin memberikan pupuk pada tanaman padinya. Pupuk, yang diberikan harus
mengandung sekurang- kurangnya 600 g Fosfor dan 720 g Nitrogen. Pupuk I
mengandung 30 g fosfor dan 30 g nitrogen per bungkus. Pupuk II mengandung 20 g
Fosfor dan 40 g Nitrogen per bungkus. Petani itu ingin mencampur kedua pupuk
tersebut. Satu bungkus pupuk I harganya Rp.17.500,00 dan pupuk II harganya
Rp14.500 per bungkus. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut

17

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

Kegiatan Belajar 3

NILAI OPTIMUM

A. Tujuan Pembelajaran

Pada kegiatan pembelajaran ini peserta didik diharapakan dapat menentukan nilai
optimum dengan metode uji titik pojok maupun garis selidik.

B. Uraian Materi

Amatilah gambar diatas, kemudian apa yang Anda
pikirkan mengenai gambar di atas jika dikaitkan
dengan materi program Linear?

18

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

Gambar di atas dalah gambar seorang produsen kayu yang membuat meja dan kursi.
Tentu saja bahan bakunya adalah kayu. Nah dari pembuatan meja dan kursi tesebut
berapakah keuntungan bapak tersebut?, lebih untung manakah pembuatan kursi atau
meja jika dijual?.
Itulah seputar pertanyaan jika dikaitkan dengan program linear. Bagaimana apakah
yang kalian pikirkan sudah sama. Baiklah jika belum mari kita pelajari mengenai
nilai optimum dengan memanfaatkan pengetahuan kalian pada materi sebelumnya.

1. Nilai Optimum dengan Uji Titik Pojok
Nilai Optimum (maksimum/ minimum) biasanya terletak di ujung- ujung daerah
penyelesaian. Untuk menyelidiki maksimum atau minimum dari suatu nilai dalam
daerah penyelesaian tertentu cukup diselidiki untuk titik- titik yang berada pada
ujung- ujung daerah penyelesaia. Jika yang menjadi tujuan adalah nilai minimum,
nilai terkecil meruakan penyelesaian. Jika yang menjadi tujuan adalah nilai
maksimum, maka nilai terbesar merupakan penyelesaian.
Contoh:
Suatu perusahaan mebel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk
membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk
membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I
dijual seharga Rp250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga
Rp400.000,00 per unit, tentukan banyaknya masing- masing barang yang harus
dibuat agar penjualannya mencapai maksimum.
Jawab:

INGAT!!!!!!!!
Model

Matematika
pada materi
sebelumnya

19

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

a. Misalkan: banyak barang jenis I = x
Banyak barang jenis II = y

Jenis Banyak Unsur A Unsur B Harga
1 2 Rp.250.000,00
Barang jenis I x 3 2 Rp.400.000

Barang jenis y 18 24

II

Model Matematika:
x + 3y  18
2x + 2 y  24  x + y  12
x0
y0

Fungsi Objektif f (x, y) = 250.000 x + 400.000y

b. Menggambar grafik

Dengan melihat daerah yang diarsir adalah daerah himpunan penyelesaian, maka
diperoleh 4 titik pojok yaitu titik A, B, C, D. titik C adalah perpotongan antara
garis 1 dan garis 2 bisa dicari menggunakan metode eliminasi Sistem
persamaan linear dua variable.

20

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

x + 3y = 18
x + y = 12

2y = 6
y=3

x + y = 12
x + 3 = 12
x =9
(9,3)

c. Menentukan nilai optimum

Dengan menggunakan titik pojok dan fungsi objektif

Titik f (x, y) = 250.000 x + 400.000 y

Pojok f (0,0) = 250.000 0 + 400.000 0 = 0 (MINIMUM)
A(0,0)

B(0,6) f (0,6) = 250.000 0 + 400.000 6 = 2.400.000

C(9,3) f (9,3) = 250.000  9 + 400.000 3 = 3.450.000 (MAKSIMUM)

D(12,0) f (12,0) = 250.00012 + 400.000 0 = 3.000.000

2. Nilai Optimum dengan Garis Selidik
Garis Selidik adalah garis yang digunakan untuk menyelidiki nilai optimum yang
diperoleh dari fungsi sasaran atau fungsi objektif. Langkah- langkah menentukan
nilai optimum fungsi f (x, y) = ax + by dengan garis selidik berikut.

a. Gambarlah daerah penyelesaian
b. gambarlah garis selidik dari sistem pertidaksamaan linear ax + by = k

c. buatlah garis- garis yang sejajar dengan garis selidik tersebut sehingga melalui
titik pojok daerah penyelesaiannya.

d. Tentukan nilai optimum.
Nilai maksimum adalah nilai k grais selidik yang letaknya paling jauh dari titik
pangkal dan nilai minimum adalah nilai k garis selidik yang letaknya paling
dekat dari pangkal. Nilai k diperoleh dengan mensubstitusika titik ng dilalui
garis selidik ke fungsi objektifnya.
Contoh: tentukan Nilai maksimum dari fungsi objektif f (x, y) = 400x + 300y

yang memenuhi sistem pertidaksamaan :

x + y  500 : 2x + y  800 : x  0 : y  0

21

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

Penyelesaian:
• Gambarlah garis selidik 400x + 300 y = k . Misalnya menetapkan k =

120.000 maka garis 400x + 300 y = 120.000 melalui titik (300,0) dan (0,400)
• Gambarlah garis sejajaj dengan garis 400x + 300 y = 120.000 yang melalui

titik terujung dari daerah himpunan penyelesaian.
Garis yang terletak paling jauh (kanan) dari titik pangkal adalah garis yang
melalui titik (300,200) yitu garis
400x + 300 y = 400  300 + 300  200 = 180.000 sehingga nilai maksimum
fungsi objektif f (x, y) = 400x + 300y adalah 180.000.

22

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

C. Rangkuman

➢ Menentukan Nilai Optimum yaitu maksimum ataupun minimum.
➢ Penentuan nilai Optimum dengan menggunakan Uji titik Pojok dan Garis selidik.
➢ Nilai yang paling besar menyatakan nilai itu maksimum.
➢ Nilai yang paling kecil merupakan nilai yang minimum.

23

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

D. Tugas

Kerjakan soal di bawah ini dengan teliti!
1. Diketahui sistem pertidaksamaan lnear dua variable

: 4x + 5y  20;5x + 4 y  20; x  0; y  0 dengan fungsi objektif f (x, y) = 2x + 3y
Tentukanlah nilai maksimum dan minimumnya?
2. Perhatikan gambar di bawah ini.

Tentukan nilai maksimum fungsi objektif f (x, y) = 3x + 2 y dari daerah yang diarsir

pada gambar di atas.

3. Seorang pengusaha mebel akan memproduksi meja dan kursi yang menggunakan
bahan dari papan – papan kayu dengan ukuran tertentu. Satu meja memerlukan
bahan 10 potong papan dan satu kursi memerlukan 5 potong papan. Papan yang
tersedia 5oo potong. Biaya pembuatan satu meja meja Rp100.000,00 dan biaya
pembuatan satu kursi Rp40.000,00. Anggaran yang tersedia Rp1.000.000,00.
tentukan model matematika dari persoalan tersebut.

4. Seorang petani memiliki tanah tidak kurang dari 10 hektare. Ia merencanakan akan
menanami padi seluas 2 hektare sampai 6 hektare dan menanam jagung seluas 4
hektare sampai dengan 6 hektare. Untuk menanam jagung per hektarnya diperlukan
biaya Rp200.000,00. Agar biaya tanam minimum, berapa banyak masing- masing
padi dan jagug yang harus ditanam?

5. Luas suatu tempat parker adalah 468 m2 dan dapat menampung tidak lebih dari 28
kendaraan dari jenis sedan dan bus. Luas rata- rata untuk sebuah sedan adalah 6 m2
dan untuk sebuah bus adalah 26 m2 dengan biaya parker untuk sedan dan bus
masing- masing adalah Rp3.000,00 dan Rp5.000,00 per jamnya. Jika dalam satu jam
tidak ada kendaraan yang pergi dan datang. Berapakah pendapatan maksimum
tempat parker tersebut daam satu jam ?

24

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

EVALUASI

I. Pilihan Ganda
Kerjakanlah soal di bawah ini dengan tepat!

1. Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 6x + 2 y 12 adalah . . .

Y D. Y
A.

6 2

HP HP

B. O 2 X O X
Y 6 X

6 E. Y

HP 2 HP

O X
2
O
C. 6
Y

6 HP

O2 X

25

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

2. Perhatikan gambar di bawah ini Y

Daerah yang diarsir di atas memenuhi pertidaksamaan ...

A. x  7 D. x  7

B. y  7 E. x  7

C. x  7

07 X

3. Perhatikan gambar di bawah ini
Y

7 X

HP

-6

Daerah yang diarsir di atas merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan . . .

A. 6 x − 7 y  42 D. 6 x − 7 y  42

B. 6 x − 7 y  42 E. 7x − 6 y  42

C. 6 x − 7 y  42

4. Perhatikan gambar di bawah ini

Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan :

8x + 5y  40 Y
x4x+09 y  36 8

y  0 V II

Pada gambar di atas adalah ... I
A. I D. IV 4

B. II E. V

C. III III

IV 9 X
05 26

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

5. Seorang pengrajin membuat 2 model tas anak-anak. Model I memerlukan 50cm kain
polos dan 75 cm kain bergaris, sedangkan model II memerlukan 60 cm kain polos dan 50
cm kain bergaris. Pengrajin tersebut mempunyai 3000 cm kain polos dan 4000cm kain
bergaris. Jika banyaknya tas model I adalah x dan model II adalah y, maka model
matematikanya adalah . . .
A. 5x + 6 y  300;3 x + 2 y  160; x  0; y  0
B. 5x + 6 y  300;3 x + 2 y  160; x  0; y  0
C. 5x + 6 y  300;3 x + 2 y  160; x  0; y  0
D. 6x + 5y  300;3 x + 2 y  160; x  0; y  0
E. 6x + 5y 300;3 x + 2 y  160; x  0; y  0

6. Pada persoalan nomor 4, jika ibu tersebut menjual tas untuk model I memperoleh

keuntungan sebesar Rp. 17.000,00 dan untuk tas model II memperoleh keuntungan Rp.

15.000,00 , maka fungsi tujuannya adalah...

A. f(x,y)= 17.000x + 15.000y

B. f(x,y) = 15.000x + 17.000y

C. f(x,y)=3000x+4000y

D. f(x,y) = 1.000 x +500y

E. f(x,y)= 400 x + 800 y

7. Titik potong antara dua buah garis 3x − 2y = 7 dan 2x + y =14 , maka nilai dari 2x +3y

adalah ...

A. 2 D. 20

B. 10 E. 9

C. 12

8. Nilai maksimum dari daerah himpunan penyelesaian di bawah oleh fungsi

f (x, y) = 3x + 5y adalah ... Y

A. 6 5
B. 8
C. 21 3 HP
D. 15
E. 20 0X

5

9. Nilai minimum fungsi objektif f (x, y) = x + 2 y dari sistem pertidaksamaan 2x + y  20 ;

4x + 3y  48 ; x  0, y  0 adalah . . .

A. 10 D. 32

B. 12 E. 40

C. 24

27

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

10. Nilai maksimum untuk fungsi objektif z = 2x + 2 y dari daerah penyelesaian sistem
pertidaksamaan linear di bawah ini adalah ... Y

A. 10 8
B. 0
C. 12 5 (2,4)
D. 8
E. 16 HP

II. Essay 4 10 X

Kerjakanlah soal di bawah ini dengan jujur, teliti, dan tepat!

1. Gambarkan grafik dan tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di
bawah ini !

8x + 5y > 40
4x +9y > 36
x>0
y>0

2. Sebuah perusahaan menggunakan 2 jenis mesin. Untuk membuat benda jenis A
memerlukan waktu 9 menit pada mesin pertama dan 15 menit pada mesin kedua.
Sementara benda jenis B memerlukan waktu 6 menit pada mesin pertama dan 21
menit pada mesin kedua. Mesin pertama bekerja paling lama 5.460 menit dan mesin
kedua bekerja paling lama 12.180 menit. Jika x menyatakan banyak benda jenis A dan
y menyatakan banyak benda jenis B, model matematika dari permasalahan tersebut?

3. Pak Rendi berencana membangun 2 tipe rumah; yaitu tipeA dan tipeB di atas sebidang

tanah seluas10.000 . Setelah dia berkonsultasi dengan arsitek (perancang

bangunan), ternyata untuk membangun rumahtipeA dibutuhkan tanah seluas100 .

dan untuk membangun rumahtipeB dibutuhkan tanah seluas 75 . Karena dana yang
dimilikinya terbatas, maka banyak rumah yang direncanakan akan dibangun paling

banyak 125 unit.Jikax :banyakrumahtipeA yang akan dibangun dan y :banyak rumah

tipe B yang akan dibangun maka model matematika yang tepat untuk permasalahan

tersebut adalah. . . .
4. a. Gambarlah daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan :

2x + y  10; x + y  8; x  0; y  0 .
b. Tentukan nilai optimum (maksimum dan minimum) f (x, y) = 5x + 2 y dari daerah

penyelesaian itu!
5. Seorang pengusaha parkir menyediakan lahan parkir dengan luas paling sedikit 150 m2

untuk motor dan mobil dengan kapasitas 60 kendaraan. Sebuah motor dan mobil
masing- masing memerlukan lahan parker seluas 2 m2 dan 5 m2. Tarif parkir untuk
motor adalah Rp2.000,00; sedangkan untuk mobil sebesar Rp5.000,00. Tentukan
pendapatan maksimum dari tukang parker tersebut?

28

Bahan Ajar Program Linear Kelas X

BAB III
PENUTUP

Daftar Pustaka

Arnenda. 2019. Matematika untuk SMK.MAK Kelas X semester 1. Putra Nugraha.Buku
Pegangan Guru untuk SMK/ MAK Kelompok Teknologi kelas X
Buku sumber dari Kemendikbud Edisi Revisi 2017
Kasmina. 2015. Seri Pendalaman Materi Matematika untuk
SMK/MAK.Erlanggga.
Toali, dkk. 2008. Matematika Program Keahlian Teknologi, Kesehatan, danPertanian
Untuk SMK dan MAK Kelas X. Erlangga.
Internet

29

Bahan Ajar Program Linear Kelas X