Sistem Persamaan Linear Homogen – Menara Ilmu Aljabar Linear

Pada artikel ini, akan dibahas mengenai sistem persamaan linear (SPL) homogen, yakni suatu SPL dimana suku yang memuat konstanta adalah nol. Jadi bentuk umum SPL homogen adalah sebagai berikut :

$\begin{equation*} \begin{split} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}&=0\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}&=0\\ &\vdots\\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}&=0 \end{split} \end{equation*}$

Karena suku konstantanya nol semua, maka sistem persamaan linier homogen ini selalu mempunyai penyelesaian trivial, yaitu

$x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}=0.$

Pertanyaannya adalah apakah sistem persamaan tersebut juga mempunyai penyelesaian tak nol (non-trivial). Untuk menjawab pertanyaan ini, metode mencari penyelesaian sistem persamaan nonhomogen bisa tetap diterapkan, salah satunya dengan menggunakan metode eleminasi Gauss atau metode eleminasi Gauss-Jordan.

Untuk lebih jelasnya, diperhatikan contoh berikut ini.

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari SPL homogen berikut.

$\begin{equation*} \begin{split} 2x_{1}+2x_{2}-x_{3}+x_{5}&=0\\ -x_{1}-x_{2}+2x_{3}-3x_{4}+x_{5}&=0\\ x_{1}+x_{2}-2x_{3}-x_{5}&=0\\ x_{3}+x_{4}+x_{5}&=0 \end{split} \end{equation*}$

Penyelesaian :

Matrik perluasan dari SPL di atas adalah

$\begin{equation*} \begin{bmatrix} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & \mid & 0\\ -1 & -1 & 2 & -3 & 1 & \mid & 0\\ 1 & 1 & -2 & 0 & -1 & \mid & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 &\mid & 0 \end{bmatrix} \end{equation*}$

Selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan metode operasi Gauss-Jordan.

$\begin{equation*} \begin{split} \begin{bmatrix} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & \mid & 0\\ -1 & -1 & 2 & -3 & 1 & \mid & 0\\ 1 & 1 & -2 & 0 & -1 & \mid & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 &\mid & 0 \end{bmatrix}\xrightarrow{B_{1} \leftrightarrow B_{3}} &\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 & -1 & \mid & 0\\ -1 & -1 & 2 & -3 & 1 & \mid & 0\\ 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & \mid & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 &\mid & 0 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow[B_{3}+(-2)B_{1}]{B_{2}+B_{1}} &\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 & -1 & \mid & 0\\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & \mid & 0\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 3 & \mid & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 &\mid & 0 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow[B_{3}\times \frac{1}{3}]{ B_{2}\times \frac{-1}{3}} &\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 & -1 & \mid & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \mid & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & \mid & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 &\mid & 0 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{ B_{2}\leftrightarrow B_{3}} &\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 & -1 & \mid & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & \mid & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \mid & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 &\mid & 0 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow[B_{4}+(-1)B_{2}+(-1)B_{3}]{ B_{1}+2B_{2}} &\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & \mid & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & \mid & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \mid & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\mid & 0 \end{bmatrix}\\ \end{split} \end{equation*}$

Sehingga diperoleh SPL

(1) $\begin{equation*} \begin{split} x_{1}+x_{2}+x_{5}&=0\\ x_{3}+x_{5}&=0\\ x_{4}&=0 \end{split} \end{equation*}$

yang berakibat $x_{1}=-x_{2}-x_{5}, x_{3}=-x_{5}, x_{4}=0$ . Jadi penyelesaian SPL homogen di atas adalah

$x_{1}=-s-t, x_{2}=s, x_{3}=-t, x_{4}=0, x_{5}=t$

dengan $s,t\in \mathbb{R}$ .

Lebih lanjut, untuk $s=t=1$ diperoleh penyelesaian $x_{1}=-2, x_{2}=1, x_{3}=-1, x_{4}=0, x_{5}=1$ . Dengan demikian SPL homogen di atas mempunyai penyelesaian non-trivial.

Leave a Reply Cancel reply